Image réciproque d'un fermé

[invitef639ad4f]

Bonjour a tous ,
comme mon titre l'indique je cherche a montrer que f continue equivalent a (pour tout F fermé , f^-1(F) fermé) et cela sans passer par la preuve de l'ouvert et le complémentaire. Je peux utiliser que la caractérisation séquentielle et par l'absurde.

f continue implique pour tout F fermé , f^-1(F) fermé cest bon!
la récirpoque me pose problème.

ce que j'ai fait :

Supposons f non continue

Je pose F= ( support de f(Xn)) U ( lim f(Xn)) avec
Xn dans f^-1(F) Xn tend vers X et X dans f^-1(F)
j'ai aussi f(X) dans F

donc f(X) est dans le support de f(Xn) ce qui n'a pas de sens ?


Je suis un peu perdu..
Merci d'avance a otut le monde.
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[gg0]

Bonjour.

Tu n'utilises pas le fait que f n'est pas continue ? Tu peux facilement donner une caractérisation séquentielle de f n'est pas continue en a.

Cordialement.

[invitef639ad4f]

c'est il existe une suite Xn qui tend vers a tel que f(Xn) ne tend pas vers f(a) .
mais je vois pas comment l'utiliser.
Faut-il considérer un Fermé en particulier ?
Merci.

[invitef639ad4f]

f non continue en x signifie q'il existe Xn dans f-1(F) qui tend vers x dans f-1()F tel que f(Xn) ne tend pas vers f(x)
Dans ce cas f(Xn) est dans F et sa limite aussi . donc f(x) et limite de f(Xn) sont dans F . faut-il aller dans ce sens ?
Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Tu peux considérer un ouvert contenant f(a) mais au plus un nombre fini de f(xn) : Il en existe un puisque f(xn) ne tend pas vers f(a), puis prendre pour F son complémentaire. f-1(F) contient tous les xn à partir d'un certain indice, donc leur limite a, puisqu'il est fermé.

Cordialement.