Calcul de dérivées partielles

[cheezburger]

Bonjour j'aurais besoin d'aide pour un exercice qui demande de calculer des dérivées partielles :

je dois calculer les dérivées partielles de g(x,y) = f(y,x) f étant C¹ sur R² (l'énoncé ne précise pas mais je suppose que f est à valeurs dans R).

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Dans mon cours j'avais un exemple avec un changement de variable nécessaire pour résoudre une équation aux dérivées partielles g(u,v)=f(u+av,u+bv)=f(x,y) qui donnait :






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En appliquant le même modèle, j'obtiens :




Mais apparemment c'est faux, je devrais obtenir :



Merci pour ceux qui pourront m'aider.
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[cheezburger]

Je le vois bien avec un exemple du style f(x,y)=2x+y et g(x,y)=x+2y mais je ne comprends pas pourquoi ce que j'ai fait plus haut est faux.

[gg0]

Bonjour.

Je ne suis pas sûr de la validité de ton calcul (*), mais en tout cas il donne la bon résultat. Car de façon assez évidente :

(y est une constante quand x varie, et la dérivée de x par rapport à x est 1).

Il me semble préférable de définir deux fonctions u et v avec u(x,y)=y et v(x,y)=y et de noter que g(x,y)=f(u(x,y),v(x,y)). Ce sera plus clair.

Cordialement.

(*) il est très malsain, car x et y ne sont pas des fonctions de deux variables.

[cheezburger]

Justement, si je considère que dy/dx = 0 et dx/dx = 1, mon calcul donnait :



alors que je devrais trouver :




(désolé c'est un peu la misère tous ces symboles)


Je vais essayer votre méthode...

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Oui, la notation est très malsaine. Mais elle a servi depuis trois siècles ...

Une meilleure notation est pour la dérivée partielle par rapport à la première composante (son nom n'importe pas). Mais on perd les formules avec des simili produits de fractions, qui sont aussi pratiques dans certaines circonstances (mnémoniques, calcul approché, ..)

Bon travail !

[cheezburger]

Désolé j'ai cherché mais je ne comprends rien. Reprenons tout depuis le début svp.


Je dois trouver les dérivées partielles de g(x,y)=f(y,x)


Commençons par dg/dx. Je bloque dès la 1ere ligne car mon corrigé donne :




Pourquoi le premier terme du membre de droite est "d rond f sur d rond x" alors que la première variable de f n'est pas x mais y dans l'égalité g(x,y)=f(y,x) ?


C'est ça que je ne comprends pas car dans le théorème de dérivation partielle des fonctions composées, la fonction f est d'abord dérivée par rapport à sa 1ere variable multiplié par cette variable dérivée par rapport à la variable de la dérivée cherchée PLUS la dérivée de f par rapport à sa 2e variable multipliée par cette 2e variable par rapport à la variable de la dérivée cherchée. Ce qui donne :




et pourtant ça ne correspond pas au corrigé mais c'est ce que j'ai compris des règles de dérivation.

J'ai conscience que c'est pas évident de se faire aider la dessus sur un forum, mais là je suis seul face à cet exo, je galère.. J'aimerais vraiment essayer de m'en sortir sans poser u(x,y) et v(x,y)… D'autant que c'est peut-être une mauvaise application de ma part du théorème de dérivation ??

[cheezburger]

J'ai tout de même essayé avec votre méthode gg0 mais je n'aboutis pas :

g(x,y) = f(y,x) et on pose u(x,y)=y et v(x,y)=x pour avoir g(x,y) = f(u(x,y),v(x,y))

Je trouve :




sous-entendu

[gg0]

"Pourquoi le premier terme du membre de droite est "d rond f sur d rond x" alors que la première variable de f n'est pas x"
C'est bien là le problème de cette notation des dérivées partielles. C'est la dérivée de la fonction f par rapport à sa première composante. Comme ici on mélange les noms des composantes, ça devient du n'importe quoi !!

Dans ton calcul "avec ma méthode", il y a un problème :

est manifestement incorrect, puisque la même variable devrait apparaître en dénominateur puis en numérateur. Or tu écris une fois y, une fois u.

C'est d'ailleurs la même chose dans ton "corrigé".

Dans cette formule, il doit y avoir deux fois , puis dans la suite, deux fois . Une fois le résultat obtenu, tu pourras changer de noms les variables, puisque signifie ici la dérivée partielle par rapport à la première composante, notée habituellement .

Cordialement.

Bilan : Un méchant exercice qui ne sert pas à grand chose et montre surtout l'indigence de ces notations.

[cheezburger]

Merci d'avoir pris le temps de me répondre. Ok je vois mon erreur la 1ere variable de f est donc u, je refais le calcul :




Comme u(x,y) = y, du/dx = 0 et comme v(x,y) = x, dv/dx = 1 ce qui donne :


sous-entendu

puisque signifie ici la dérivée partielle par rapport à la première composante, notée habituellement

C'est ici que je ne vous suis pas : comme j'ai g(x,y) = f(y,x) = f(u(x,y),v(x,y)) la première composante de f est u(x,y) or u(x,y)=y donc ça devrait être y et non x ???

[gg0]

Traditionnellement, on écrit f(x,y), et la première composante est x; d'où la notation.
Attention, la fonction (x,y) -->f(y,x) n'est pas f, qui est (x,y)-->f(x,y).

Toujours ce problème de notation des dérivées partielles !!

[cheezburger]

Ok je comprends peu à peu grâce notamment à votre explication essentielle pour moi :

Attention, la fonction (x,y) -->f(y,x) n'est pas f, qui est (x,y)-->f(x,y).

Je considère donc qu'il faut dériver f par rapport à sa 1ère variable "dans l'absolu" et il est vrai que la fonction f est :
f : (x,y) --> f(x,y)

Dans ce cas :




Or, et d'où :

soit

Après 24h ça fait plaisir d'aboutir enfin à ce résultat en en comprenant à peu près le cheminement...