Ensemble des énièmes

[akntn]

Bonjour,

L'ensemble des premiers a une densité nulle. Peut-on en dire autant de tous les ensembles énièmes (second, troisième, quatrième, ...), c'est à dire les ensembles des multiples de 2, de 3, de 4, ... de n facteurs premiers ?
Merci.
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[Médiat]

Bonjour,

De quelle densité parlez-vous ? Par rapport à quel ensemble ?

[Matmat]

S'il s'agit de la densité de Schnirelmann alors c'est par rapport aux entiers naturel , mais moi c'est la question que je ne comprend pas ( ou alors, telle que je la comprend, la réponse est immédiate )

[invite9dc7b526]

Tous ces ensembles ont une densité asymptotique nulle. Je crois que 'est prouvé dans le livre de Hardy & Wright.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Verdurin]

Bonsoir,
je suis surpris de lire que l'ensemble des nombres pairs a une densité asymptotique nulle.
Et je crois être en mesure de démontrer que c'est faux.

Si on pose p_n la densité des multiples de 2 dans l'intervalle [[ 1 ; n ]] on a p_2n=1/2 et p_2n+1=1/2-1/(2n+1).
Il me semble assez clair que la limite de p_n quand n tend vers l'infini est égale à1/2

[gg0]

Heu ... il ne s'agit pas des multiples de 2, mais "des multiples de 2 [...] facteurs premiers". Comprendre les nombres de la forme pq où p et q sont des nombres premiers.

Cordialement.

NB : Si j'ai bien interprété moi-même

[gg0]

En fait, il s'agirait "des produits de 2, de 3, de 4, ... de n facteurs premiers".

[Verdurin]

J'avais mal lu.
Il s'agit donc des nombres ayant exactement deux facteurs premiers (distincts ou non), puis de ceux ayant exactement trois facteurs premiers, etc.

Je ne saurais pas le démonter, mais il me semble assez évident que la plus part des entiers, au sens de la densité asymptotique, ont plus de n diviseurs premiers, quelque soit n fixé.

Désolé pour mon intervention inopportune.

[akntn]

Tous ces ensembles ont une densité asymptotique nulle. Je crois que 'est prouvé dans le livre de Hardy & Wright.

Merci, je voulais en avoir la confirmation. Dans ce cas, l'ensemble des entiers (N) est composé d'une infinité d'ensembles de densité nulle, puisque tous ces ensembles contiennent réunis, à l'infini, tous les entiers sans répétition aucune. Est-ce normal ?

[Médiat]

IN (comme tous les ensembles) est la réunion de tous ses singletons

[gg0]

"Normal", je ne sais pas (quelle est la norme ?), mais pas contradictoire, oui.

Cordialement.

Rappel : Ne jamais appliquer aux ensembles infinis les intuitions issues des ensembles finis.

[akntn]

IN (comme tous les ensembles) est la réunion de tous ses singletons

Bonjour Médiat,

Je parlais de réunion d'ensembles infinis de densité nulle, non de singletons (un singleton, si je ne me trompe pas, c'est bien un ensemble contenant 1 seul élément, donc un ensemble fini ?).

[gg0]

Relire le message #11 (Rappel).

Cordialement.

[akntn]

Relire le message #11 (Rappel).

Cordialement.

Reprenons : si je dis que NI est la réunion de tous les ensembles énièmes, en quoi est-ce une aberration ?

[invite9dc7b526]

il faut aussi faire attention au fait que cette notion de densité asymptotique (la limite quand n tend vers l'infini de la proportion d'entiers vérifiant telle propriété parmi les n premiers entiers naturels) ne reflète pas forcément l'intuition qu'on peut avoir de la "rareté" de ces nombres. Elle marche bien pour les nombres pairs par exemple mais déjà pour les nombres premiers elle ne nous dit pas grand-chose. D'ailleurs les mathématiciens s'y intéressent moins qu'à trouver un équivalent asymptotique à la proportion en question: par exemple la proportion de nombres premiers tend vers zéro, mais à quelle vitesse? (ça c'est connu depuis les travaux d'Hadamard)

[invite23cdddab]

Ce que dit Médiat, c'est qu'un singleton ayant une densité nulle et que IN est réunion de singletons, alors IN est réunion d'ensembles de densité nulle.

[gg0]

Akntn.

" en quoi est-ce une aberration ? " En rien.
Ce qui est surprenant, c'est que la réponse de Médiat, traitant d'une question analogue, ne reçoive qu'une contestation sans objet : Il te montre bien que "l'ensemble des entiers (N) est composé d'une infinité d'ensembles de densité nulle", ce dont tu demandais "Est-ce normal ? ".

Cordialement.

[akntn]

Akntn.

" en quoi est-ce une aberration ? " En rien.
Ce qui est surprenant, c'est que la réponse de Médiat, traitant d'une question analogue, ne reçoive qu'une contestation sans objet : Il te montre bien que "l'ensemble des entiers (N) est composé d'une infinité d'ensembles de densité nulle", ce dont tu demandais "Est-ce normal ? ".

Cordialement.

"Aberration" dans le sens de "erreur", rien à voir avec une contestation du propos de Médiat. Le fait est que la notion de singleton ayant une densité nulle m'échappait. "Est-ce normal ?", parce que l'ensemble IN n'est pas présenté couramment comme réunion de tous les ensembles énièmes, mais plutôt comme ensemble infini dénombrable.
Cordialement

[akntn]

Ce que dit Médiat, c'est qu'un singleton ayant une densité nulle et que IN est réunion de singletons, alors IN est réunion d'ensembles de densité nulle.

Peux-tu m'expliquer en quoi un singleton a une densité (asymptotique) nulle (désolé, je suis borné) ?

[gg0]

Définition de la densité de E :

Sur [1, n] :
Pour un singleton {m}, le numérateur vaut 1 dès que et reste à 1.

Cordialement.

NB : ta question m'explique mieux tes difficultés à comprendre.

[gg0]

Je rectifie (oubli dans ma première écriture) :

Sur [1, n] :

Cordialement.

[akntn]

Définition de la densité de E :

Sur [1, n] :
Pour un singleton {m}, le numérateur vaut 1 dès que et reste à 1.

Cordialement.

NB : ta question m'explique mieux tes difficultés à comprendre.

Je ne comprends toujours pas (parce que sans doute tu m'expliques par une formule) le lien existant entre la densité nulle et un singleton. Peux-tu être plus explicite ? (ou plus pédagogue).
De toute façon savoir que NI est la réunion d'un ensemble infini de singletons ne répond pas à ma question. Faut-il en conclure que l'ensemble des premiers (des seconds, des troisièmes,...) est un singleton ?

[gg0]

J'ai l'impression que tu n'as même pas essayé d'appliquer la formule et de voir le lien avec ce dont tu parles dans ce fil.

Je t'ai donné la formule de la densité sur [1;n] (*), et la densité asymptotique est la limite de la densité sur [1;n] quand n tend vers l'infini. Pour un singleton, un ensemble de la forme {m} où m est un entier, d vaut 0 si n<m et dès que n atteint et dépasse m. Et la limite de est 0.

Vu ton message #1, on était fondés à penser que tu sais ce que c'est que la densité asymptotique (puisque tu en parlais) et que tu pouvais comprendre pour un singleton (de , évidemment, puisqu'on parle de densité pour des ensembles d'entiers).
Faut-il encore enfoncer d'autres portes ouverts ?

Cordialement.

(*) réécrite correctement au message #21.