Arithmétique

[invite460b8bb8]

Bonsoir à tous.
J'ai un exercice d'arithmétique sur lequel je bloque.
Il s'agit de trouver les entiers naturels n tels que 2^n divisé ((3^n)+1). Veuillez m'éclairer svp.
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[invitedd63ac7a]

Je suppose qu'il faut trouver les entiers n tels 2^n divise 3^n+1
1) Regardez déjà ce qui se passe pour les premiers entiers n.
2) Que pouvez-vous conjecturer ?
3) Montrez cette conjecture ?

[invite460b8bb8]

Cela marche pour n= 0, 1, 2 et 4.
Pour les autres non. Mais je ne sais pas comment prouver cela !

[Médiat]

Vous êtes sûr ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

Cela marche pour n= 0, 1, 2 et 4.
Pour les autres non. Mais je ne sais pas comment prouver cela !

marche pas !
2^2=4 et 3^2+1=10 et 4 ne divise pas 10, de même
2^4=16 et 3^4+1=82 et 16 ne divise pas 82

[invite460b8bb8]

Excusez-moi, c'est plutôt (3^n)-1.

[Resartus]

Bonjour,
Commencer par montrer que si n>1, n doit être pair, puis factoriser 3^2k-1

[invite460b8bb8]

Oui j'arrive à montrer que pour n>1 , n est pair.
En posant n=2k, j'ai que 2^(2k) divise 3^(2k)-1 qui est égale à (3^k +1)(3^k -1)..... je vois pas comment avancer ����

[gg0]

Connais-tu l'identité remarquable :

On la retrouve facilement si on connaît la somme de termes successifs d'une suite géométrique, ici


Cordialement.

[invite460b8bb8]

Oui je la connais. C'est en l'utilisant que j'ai réussi à montrer que pour n>1 , n est pair.
Si je l'utilise pour factoriser 3^2k-1 , je ne vois pas comment avancer.

[Resartus]

Bonjour,
Sachant que 3^k+1=3^k-1 +2, on peut conclure que si l'un est divisible par 2^p avec p>1, l'autre n'est divisible que par 2. Ensuite, comparer le nombre de facteurs 2 des deux cotés

[gg0]

Pourtant, avec p=2k, ou en pensant que 3^(2k)=9^k ...

[invite460b8bb8]

Je ne te suis plus là

[invite460b8bb8]

Pgcd (3^k+1 , 3^k-1)=2 donc l'un des deux termes est divisible au plus par 2...

[gg0]

Jubans06 : "Si je l'utilise pour factoriser 3^2k-1" (mal écrit, c'est en fait 3^(2k)-1
Gg0 : "Pourtant, avec p=2k, ou en pensant que 3^(2k)=9^k ... "
Jubans06 : "Je ne te suis plus là "
Eh bien force-toi à suivre, je t'ai tout dit, et tu es même deux manières. Choisis celle que tu veux et fais le calcul.
C'est toi qui fais l'exercice, si tu ne veux pas réfléchir à ce que tu dois obtenir et utiliser les indications, attends la correction par ton prof (tu te sentiras un peu bête, mais tant pis)

[invitedd63ac7a]

Je n'ai peut-être pas tout vu, mais l'exercice ne me semble pas si simple que ça !

J'ai compris qu'il faut trouver les entiers naturels n tels que 2^n divise 3^n-1.

@Jubans06
Reprends ce que tu as trouvé: Cela marche pour n= 0, 1, 2 et 4. Pour les autres non.
Ecris correctement ta conjecture.

Tu as déjà trouvé des choses, mais il faut rédiger correctement:
Que se passe-t-il quand n est impair ?
Maintenant quand n est pair reprend l'idée de Resartus, mais va plus loin, que se passe-t-il quand n=q2^n, avec q impair ? N'y a-t-il pas moyen de factoriser 3^(q2^n)-1 en de multiples facteurs dont on sait par quelle puissance de 2 ils sont divisibles.

[invite460b8bb8]

Oui et ?????

[invitedd63ac7a]

Pour pratiquer des mathématiques il faut utiliser un langage précis, sinon on se perd rapidement.
Quand tu écris :Cela marche pour n= 0, 1, 2 et 4. Pour les autres non.
Ce n'est pas du langage mathématique. Que veut dire "marche", n représente quoi ?
Ecris donc une véritable phrase mathématique.

[gg0]

Eudea,

Juban06 a déjà eu tout ce qu'il lui faut pour trouver lui-même. Inutile de poursuivre !

Cordialement.

[invite460b8bb8]

Ouais merci à tous !