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Arithmétique




  1. #1
    Jubans06

    Arithmétique

    Bonsoir à tous.
    J'ai un exercice d'arithmétique sur lequel je bloque.
    Il s'agit de trouver les entiers naturels n tels que 2^n divisé ((3^n)+1). Veuillez m'éclairer svp.

    -----


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  3. #2
    eudea-panjclinne

    Re : Arithmétique

    Je suppose qu'il faut trouver les entiers n tels 2^n divise 3^n+1
    1) Regardez déjà ce qui se passe pour les premiers entiers n.
    2) Que pouvez-vous conjecturer ?
    3) Montrez cette conjecture ?

  4. #3
    Jubans06

    Re : Arithmétique

    Cela marche pour n= 0, 1, 2 et 4.
    Pour les autres non. Mais je ne sais pas comment prouver cela !


  5. #4
    Médiat

    Re : Arithmétique

    Vous êtes sûr ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  6. #5
    ansset

    Re : Arithmétique

    Citation Envoyé par Jubans06 Voir le message
    Cela marche pour n= 0, 1, 2 et 4.
    Pour les autres non. Mais je ne sais pas comment prouver cela !
    marche pas !
    2^2=4 et 3^2+1=10 et 4 ne divise pas 10, de même
    2^4=16 et 3^4+1=82 et 16 ne divise pas 82
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Jubans06

    Re : Arithmétique

    Excusez-moi, c'est plutôt (3^n)-1.

  9. #7
    Resartus

    Re : Arithmétique

    Bonjour,
    Commencer par montrer que si n>1, n doit être pair, puis factoriser 3^2k-1
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast

  10. Publicité
  11. #8
    Jubans06

    Re : Arithmétique

    Oui j'arrive à montrer que pour n>1 , n est pair.
    En posant n=2k, j'ai que 2^(2k) divise 3^(2k)-1 qui est égale à (3^k +1)(3^k -1)..... je vois pas comment avancer ����

  12. #9
    gg0

    Re : Arithmétique

    Connais-tu l'identité remarquable :

    On la retrouve facilement si on connaît la somme de termes successifs d'une suite géométrique, ici


    Cordialement.

  13. #10
    Jubans06

    Re : Arithmétique

    Oui je la connais. C'est en l'utilisant que j'ai réussi à montrer que pour n>1 , n est pair.
    Si je l'utilise pour factoriser 3^2k-1 , je ne vois pas comment avancer.

  14. #11
    Resartus

    Re : Arithmétique

    Bonjour,
    Sachant que 3^k+1=3^k-1 +2, on peut conclure que si l'un est divisible par 2^p avec p>1, l'autre n'est divisible que par 2. Ensuite, comparer le nombre de facteurs 2 des deux cotés
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast

  15. #12
    gg0

    Re : Arithmétique

    Pourtant, avec p=2k, ou en pensant que 3^(2k)=9^k ...

  16. #13
    Jubans06

    Re : Arithmétique

    Je ne te suis plus là

  17. #14
    Jubans06

    Re : Arithmétique

    Pgcd (3^k+1 , 3^k-1)=2 donc l'un des deux termes est divisible au plus par 2...

  18. #15
    gg0

    Re : Arithmétique


    Jubans06 : "Si je l'utilise pour factoriser 3^2k-1" (mal écrit, c'est en fait 3^(2k)-1
    Gg0 : "Pourtant, avec p=2k, ou en pensant que 3^(2k)=9^k ... "
    Jubans06 : "Je ne te suis plus là "
    Eh bien force-toi à suivre, je t'ai tout dit, et tu es même deux manières. Choisis celle que tu veux et fais le calcul.
    C'est toi qui fais l'exercice, si tu ne veux pas réfléchir à ce que tu dois obtenir et utiliser les indications, attends la correction par ton prof (tu te sentiras un peu bête, mais tant pis)

  19. #16
    eudea-panjclinne

    Re : Arithmétique

    Je n'ai peut-être pas tout vu, mais l'exercice ne me semble pas si simple que ça !

    J'ai compris qu'il faut trouver les entiers naturels n tels que 2^n divise 3^n-1.

    @Jubans06
    Reprends ce que tu as trouvé: Cela marche pour n= 0, 1, 2 et 4. Pour les autres non.
    Ecris correctement ta conjecture.

    Tu as déjà trouvé des choses, mais il faut rédiger correctement:
    Que se passe-t-il quand n est impair ?
    Maintenant quand n est pair reprend l'idée de Resartus, mais va plus loin, que se passe-t-il quand n=q2^n, avec q impair ? N'y a-t-il pas moyen de factoriser 3^(q2^n)-1 en de multiples facteurs dont on sait par quelle puissance de 2 ils sont divisibles.

  20. #17
    Jubans06

    Re : Arithmétique

    Oui et ?????

  21. #18
    eudea-panjclinne

    Re : Arithmétique

    Pour pratiquer des mathématiques il faut utiliser un langage précis, sinon on se perd rapidement.
    Quand tu écris :Cela marche pour n= 0, 1, 2 et 4. Pour les autres non.
    Ce n'est pas du langage mathématique. Que veut dire "marche", n représente quoi ?
    Ecris donc une véritable phrase mathématique.

  22. #19
    gg0

    Re : Arithmétique

    Eudea,

    Juban06 a déjà eu tout ce qu'il lui faut pour trouver lui-même. Inutile de poursuivre !

    Cordialement.

  23. #20
    Jubans06

    Re : Arithmétique

    Ouais merci à tous !

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