Endomorphisme auto-adjoint pour un produit scalaire

[guillaume05]

Bonsoir à tous,

il faut que je montre que l'endomorphisme u qui va de R[X] dans R[X] et qui à un polynome associe:

2XP'(X)+(X^2-1)P''(X) est autoadjoint (symétrique) pour le produit scalaire <P,Q>=intégrale de -1 à 1 de P(t)*Q(t) dt

Seulement voilà, je trouve que dans la base canonique des polynomes, la matrice de u n'est pas symétrique (peut etre que c'est parce que elle n'est pas orthonormale pour ce produit scalaire ?), ce qui n'est pas normal non ?

Comment montrer que u est symétrique ? Y-a-t-il un moyen plus rapide que faire des intégrations par parties pour avoir <u(P),Q>=<P,u(Q)> ?

Merci d'avance !
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[0577]

Bonjour,

peut etre que c'est parce que elle n'est pas orthonormale pour ce produit scalaire ?

En effet.

Comment montrer que u est symétrique ? Y-a-t-il un moyen plus rapide que faire des intégrations par parties pour avoir <u(P),Q>=<P,u(Q)> ?

Il suffit de faire une intégration par parties.