Un lien amusant entre les valeurs de zeta aux entiers négatifs et les séries

[Gui102]

Bonjour,

Je tiens à signaler tout d'abord que mon niveau de math est, c'est le moins que l'on puisse dire, loin d'être terrible. C'est pourquoi je m'en remet à vous pour cette question.

Tout d'abord le contexte : après avoir lu cet article (https://www.google.com/amp/s/science...12345-112/amp/), je me suis dis qu'il existait un lien possiblement profond entre la série qui définit Zêta pour les valeurs de la variable s>1 et son prolongement analytique pour tout s différent de 1.

Je me suis rendu compte qu'il existe une manière intéressante de relier les valeurs de Zêta aux entiers négatifs avec les séries obtenues en ces valeurs (Bien sûr que faire coïncider ces séries avec leur prolongement analytique n'est qu'un abus de langage, mais cela reste intéressant). Si l'on s'intéresse par exemple à la valeur de Zêta(0)= - 1/2, la série qui "coïnciderait" en 0 (donc en substituant s par 0 dans l'expression valable pour s>1(ne me tuez pas )) est la somme des 1, dont le n-ième terme est tout bêtement égale à n. En intégrant ce n-ième terme entre -1 et 0, on trouve le résultat attendu, c'est à dire -1/2. Simple coup de bol ?
En faisant pareil avec Zêta(-1)= - 1/12, qui est en relation avec, cette fois-ci, la somme des entiers naturels. Si, à nouveau, on intègre entre 0 et 1 l'expression donnant le n-ième terme de la somme, on trouve bien -1/12.
Cette démarche, je l'ai vérifiée jusqu'à la somme des puissances 7 d'entiers naturels et ça a marché à chaque fois.
Je ne saurais démontrer que cela marche pour toutes valeurs entières <=0. Toutefois, j'ai lu quelque part que les valeurs de Zêta aux entiers négatifs pouvaient être reliées aux nombres de Bernoulli, qui, si je ne m'abuse, avait formulé une expression générale pour le n'ième terme d'une somme de puissance.

Et finalement la question : est-ce un résultat connu ? Si non, auriez vous une idée pour le démontrer ? Merci d'avance. Désolé pour mon explication quelque peu chaotique, je ne suis qu'un lycéen qui s'intéresse à des maths qui le dépasse
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[Gui102]

Oups erreur d'inattention : on intègre entre -1et 0 et jamais entre 0 et 1.

[0577]

Bonjour,

ce résultat, que je ne connaissais pas, est correct et peut en effet se démontrer en utilisant le fait que les nombres de Bernoulli apparaissent à la fois dans l'expression de la fonction zeta aux entiers négatifs et dans la formule donnant les sommes de puissance.

Je vous invite à consulter https://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_number (la page en français contient bien moins de choses) pour trouver ces formules et essayer de démontrer votre résultat. Ce n'est pas complètement évident car la formula donnant la fonction zeta aux entiers négatifs contient un seul nombre de Bernoulli alors que la formule donnant les sommes de puissance contient une somme de nombres de Bernoulli. Pour passer de l'un à l'autre, il faudra à un moment utiliser une identité sur les nombres de Bernoulli ("sum formulas" au début de la section "Recursive definition" de la page wikipedia).

[Gui102]

Bonjour,

Merci pour votre réponse. Et merci également pour les conseils. Je crains que cela ne dépasse mon niveau en math. Toujours est-il que je vais me renseigner un peu plus sur la question et tenter de démontrer ce résultat. Pour ce qui est de l'existence de ce résultat, je ne l'ai retrouvé nul part. Je le trouve toutefois intéressant car il fait le lien entre la fonction Zêta et ces fameuses sommes.il reste bien des choses à comprendre sur cette fonction aussi mystérieuse que passionnante. Je vais me mettre à cette démo sans trop espérer grand chose

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gui102]

Bonjour,

Dans le raisonnement effectué au premier poste, il existe une erreur un peu bête à laquelle je n'avais pas pensé. Si l'on définit la fonction à intégrer entre -1 et 0 comme un polynôme résultant de la formule de Bernoulli (sur l'expression du n-ième terme d'une série), alors la variable est une variable entière et cela ne fait pas sens d'intégrer un polynôme par rapport à une variable entière. Toutefois, les résultats étant ce qu'ils sont, on peut toujours passer d'une variable entière à une variable réelle, encore faut-il être capable de justifier rigoureusement ce choix. Ce que je ne saurais faire pour l'instant.

Cordialement.

[0577]

Bonjour,

Dans le raisonnement effectué au premier poste, il existe une erreur un peu bête à laquelle je n'avais pas pensé. Si l'on définit la fonction à intégrer entre -1 et 0 comme un polynôme résultant de la formule de Bernoulli (sur l'expression du n-ième terme d'une série), alors la variable est une variable entière et cela ne fait pas sens d'intégrer un polynôme par rapport à une variable entière.

Il n'a pas d'erreur. Soit f_k(n) la somme des n-premières puissances k-ièmes d'entiers positifs. A priori, f_k(n) n'est définit que pour n entier positif. Mais la formule de Bernoulli dit qu'il existe un polynôme P_k(x) en une indéterminée x, tel que f_k(n) soit la valeur du polynôme P_k(x) à l'entier n. Une fois que l'on sait cela, on peut considérer P_k(x) comme une extension de la définition de f_k(n) à des valeurs de n non-nécessairement entières. Cela fait sens car il existe au plus un polynôme dont les valeurs entières sont fixées (si l'on avait deux tels polynômes, leur différence s'annulerait à tous les entiers et donc serait nulle).

Il fait alors sens d'intéger P_k(x) pour x entre -1 et 0. Il est remarquable que, bien que x entre -1 et 0 ne fasse pas partie des valeurs de définition originale de la suite f_k(n), P_k(x) pour x entre -1 et 0 "connaît secrètement" les valeurs f_k(n). C'est encore une fois une version du fait qu'un polynôme non-nul ne peut s'annuler qu'un nombre fini de fois et donc est déterminé par sa restriction à tout intervalle ouvert non-vide, aussi petit soit-il. Cette propriété de "rigidité" des polynômes est une version élémentaire d'une propriété analogue des fonctions analytiques, qui est sous-jacente aux procédés de régularisations tels que ceux utilisés pour définir la fonction zeta aux entiers négatifs.

[Gui102]

Merci beaucoup pour votre réponse.

Si je résume, c'est en quelque sorte "l'unicité" des polynômes considérés qui me donnent droit de les manipuler de la sorte ? Ai-je bon ?

Cordialement.

[Gui102]

Bonjour,

Ayant peu de temps à consacrer à mon travail personnel, je n'ai pas pu avancer sur la démo de mon résultat. J'ai malgré tout une question : est-ce normal (ou connu ? Si oui pourquoi ?) que les polynômes obtenus à l'aide de la formule de Bernoulli soient en fait, au signe près, des primitives des fameux polynômes de Bernoulli ?

J'espère que ma question n'est pas trop bête et qu'elle est clairement posée.

Cordialement

[LalaTaxi]

Salut Gui102, ce que tu as trouvé à l'air de bien marcher. C'est super! Tu l'as trouvé où? Depuis, as-tu réussi à le démontrer??

[Gui102]

Salut!

Alors c'est un vieux résultat mais j'avais bel et bien réussis à le démontrer.

Je ne suis pas tout à fait sûr mais si je ne dis pas de bêtise j'avais simplement intégré entre -1 et 0 - par rapport à x - la formule de Faulhabert pour la somme des x premiers entiers à la puissance s.
En suite, ce n'est que du calcul mais il y avait quelques astuces à utiliser avec les coeff binomiaux et les nombres de Bernoulli.

Dés que j'ai le temps je me remet dessus et si ça la preuve me revient je te la donnerais ici.