Bonjour,
Je tiens à signaler tout d'abord que mon niveau de math est, c'est le moins que l'on puisse dire, loin d'être terrible. C'est pourquoi je m'en remet à vous pour cette question.
Tout d'abord le contexte : après avoir lu cet article (https://www.google.com/amp/s/science...12345-112/amp/), je me suis dis qu'il existait un lien possiblement profond entre la série qui définit Zêta pour les valeurs de la variable s>1 et son prolongement analytique pour tout s différent de 1.
Je me suis rendu compte qu'il existe une manière intéressante de relier les valeurs de Zêta aux entiers négatifs avec les séries obtenues en ces valeurs (Bien sûr que faire coïncider ces séries avec leur prolongement analytique n'est qu'un abus de langage, mais cela reste intéressant). Si l'on s'intéresse par exemple à la valeur de Zêta(0)= - 1/2, la série qui "coïnciderait" en 0 (donc en substituant s par 0 dans l'expression valable pour s>1(ne me tuez pas)) est la somme des 1, dont le n-ième terme est tout bêtement égale à n. En intégrant ce n-ième terme entre -1 et 0, on trouve le résultat attendu, c'est à dire -1/2. Simple coup de bol ?
En faisant pareil avec Zêta(-1)= - 1/12, qui est en relation avec, cette fois-ci, la somme des entiers naturels. Si, à nouveau, on intègre entre 0 et 1 l'expression donnant le n-ième terme de la somme, on trouve bien -1/12.
Cette démarche, je l'ai vérifiée jusqu'à la somme des puissances 7 d'entiers naturels et ça a marché à chaque fois.
Je ne saurais démontrer que cela marche pour toutes valeurs entières <=0. Toutefois, j'ai lu quelque part que les valeurs de Zêta aux entiers négatifs pouvaient être reliées aux nombres de Bernoulli, qui, si je ne m'abuse, avait formulé une expression générale pour le n'ième terme d'une somme de puissance.
Et finalement la question : est-ce un résultat connu ? Si non, auriez vous une idée pour le démontrer ? Merci d'avance. Désolé pour mon explication quelque peu chaotique, je ne suis qu'un lycéen qui s'intéresse à des maths qui le dépasse![]()
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