loi de poisson ou binomiale
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loi de poisson ou binomiale



  1. #1
    philppi

    loi de poisson ou binomiale


    ------

    Bonjour,

    J ai cet exercice résolu par moi avec la loi binomiale de paramètres n=5 et p=1:12 et je trouve la réponse:O,O585

    "En moyenne, 5 clients par heure entrent dans un magasin. La vendeuse ferme
    boutique pendant 5 minutes. Quelle est la probabilité que plus d'un client trouve porte
    close ? Sol : 0,067"

    Je ne comprends pas mon erreur, serait ce une loi de Poisson avec Lambda=5:12? dans ce cas je trouve la réponse 0,0646

    -----

  2. #2
    MissJenny

    Re : loi de poisson ou binomiale

    je pense que la réponse attendue demande que tu utilises la loi de Poisson. Quand tu utilises la loi binomiale B(5,1/12) tu fais l'hypothèse que chaque heure il arrive exactement 5 clients, et que chaque client, indépendamment des 4 autres, "choisit" une période de 5 minutes pour arriver au magasin. C'est une modélisation un peu irréaliste à mon ais, d'autant que l'énoncé parle de 5 clients "en moyenne".

  3. #3
    MissJenny

    Re : loi de poisson ou binomiale

    j'ajoute que dans ce genre de problème posé en termes non mathématiques, tu as toujours une certaine liberté de modélisation. Tu peux tout à fait défendre l'idée de la loi binomiale, mais il faut bien expliquer ton modèle probabiliste.

  4. #4
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : loi de poisson ou binomiale

    Bonjour.

    Tu peux revenir à ta loi binomiale, en partant de l'idée que deux clients ne rentrent pas dans la même seconde. Donc sur les 3600 secondes de l'heure, il y a en moyenne 5 secondes au cours de lesquelles un client entre. La probabilité qu'un client entre à une seconde donnée est donc 5/3600 et tu cherches la probabilité que plus d'un client trouve porte close sur les 300 secondes données.
    Je te laisse continuer car je ne sais pas comment tu as traduit "plus d'un client" : au moins deux, ou bien un et plus.
    Tu auras alors une loi binomiale avec n grand qui s'approxime bien avec ... une loi de Poisson de même moyenne.
    Si tu crains que des clients arrivent à la même seconde, remplace seconde par millième de seconde et reprends le même raisonne*ent. Mais ce sera la même loi de Poisson à la fin.

    Cordialement.

    NB : Il n'y a rien de naturel de modéliser par une loi de Poisson, c'est la conséquence des raisonnements que j'ai fait ci-dessus.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    MissJenny

    Re : loi de poisson ou binomiale

    pourquoi est-ce que ça n'est pas naturel d'utiliser la loi de Poisson? Moi j'avais compris que les dates d'arrivée des clients suivaient un processus de Poisson. C'est une modélisation classique, non? Elle repose sur des hypothèses assez simples : pas d'arrivées simultanées, stationnarité temporelle et indépendance des arrivées.

  7. #6
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : loi de poisson ou binomiale

    Bonjour MissJenny.

    Que les arrivées suivent un processus de Poisson est une grosse hypothèse. Bien sûr on la fait pour apprendre la théorie, mais ce n'est pas nécessaire ici. J'ai squeezé l'indépendance des arrivées dans mon explication, mais Philppi l'utilisait lui aussi subrepticement, et elle est à la base des processus poissoniens.
    Il y a même des cas où certains utilisent la loi de Poisson pour des situations où elle n'a aucune raison d'être, par exemple des temps d'attente à un arrêt de bus, alors que l'arrivée des bus n'est pas aléatoire et les arrivées des passagers à priori uniformes. Sauf dans un exercice où ça fait partie des hypothèses, l'utilisation de la loi de Poisson demande justification.

    Tout ça ne règle pas le fait que Philppi ne trouve pas comme son exercice l'annonce, mais sans ses calculs, difficile de savoir s'il s'est trompé ou si la valeur annoncée était fausse.

    Cordialement.

    NB : Tous les gens qui tiennent un commerce savent que les conditions d'application de la loi de Poisson sont inadaptées à leur situation; les arrivées ne sont pas indépendantes, la stationnarité n'est pas respectée (les clients satisfaits ne reviennent pas). Mais c'est pratique pour des exercices "concrets".

  8. #7
    MissJenny

    Re : loi de poisson ou binomiale

    ok. Personnellement j'ai toujours trouvé les hypothèses sousjacentes au processus de Poisson plus naturelles que celles qui soustendent la loi binomiale, mais c'est peut-être du fait que je l'ai beaucoup utilisé à une époque.

  9. #8
    philppi

    Re : loi de poisson ou binomiale

    merci, mais je ne vois vraiment pas pourquoi la loi bi ne marche pas

  10. #9
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : loi de poisson ou binomiale

    Je t'ai montré qu'on peut l'utiliser. A condition de se mettre dans une situation où les hypothèses de la loi binomiale sont acceptables. Tu as utilisé sans le dire l'hypothèse qu'un seul client vient par période de 5 mn, hypothèse peu réaliste.
    Si tu ne comprends pas, rédige vraiment ta réponse ici, en expliquant tout, en particulier en définissant clairement la variable aléatoire que tu utilises et en justifiant qu'elle est binomiale. Tu verras qu'il y a un problème ...
    Comme tu n'as rien expliqué de ce que tu faisais, on ne peut pas plus t'aider ...

  11. #10
    philppi

    Re : loi de poisson ou binomiale

    je re-pose le sujet:

    En moyenne, 5 clients par heure entrent dans un magasin. La vendeuse ferme
    boutique pendant 5 minutes. Quelle est la probabilité que plus d'un client trouve porte
    close ? Sol : 0,067

    On raisonne sur 1 heure:

    loi binomiale

    On peut considérer les arrivées des 5 clients comme des évènements indépendants La probabilité qu'un client trouve porte close est donc de 5/60,
    soit 1/12.
    X est la va qui suit la loi binomiale de paramètres n=5 et p=1/12 et qui compte le nombre de clients trouvant porte close.
    on veut calculer P(X>1), soit 1- P(X<=1)=1-binomfrep((5,1/12,1) sur TI 83=1-0,9414=0,0585


    Loi de Poisson:

    le paramètre Lambda correspond à la moyenne, soit np=0,416=Lambda (j'ose cette approximation)
    P(X=k)=exp(-Lambda) x Lambda(puissance k)/k!

    P(X>1)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P( X=5)=0,057008+0,007915+0,00082 3+0,000068=0,0658
    (après calculs à la TI83)

    alors que la solution préconisée est de 0,067

    Voila ce que j ai fait.
    Merci à vous de m'avoir lu.
    Philppi

  12. #11
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : loi de poisson ou binomiale

    Je fais comme toi : X est la variable aléatoire exponentielle discrète de moyenne 5 qui compte le nombre de clients trouvant porte close. Etc.
    Mon baratin vaut autant que le tien. Dans les deux cas, on ne traduit pas l'énoncé. Et on présuppose la forme de la variable aléatoire sans justifier.
    Bon ! Il serait temps que tu te mettes à traiter ton exercice, en appliquant des règles mathématiques à la situation proposée.
    Tu ne sais rien de la variable "nombre de clients trouvant porte close", donc elle ne te sert à rien, cherche une variable que tu pourras raisonnablement juger binomiale (en application du cours).
    Bon travail !

  13. #12
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : loi de poisson ou binomiale

    Pour le cas "loi de Poisson" c'est un peu étrange que tu n'aies pas essayé avec la valeur exacte... Tu trouvais presque la bonne valeur avec un calcul un peu faux.

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