Loi de Poisson et loi binomiale

[invite91b66add]

Bonjour,

Je n'arrive pas à différencier le contexte dans le quel je dois utiliser la loi de poisson ou la loi binomiale.
Par exemple ici :
''Un service de cardiologie réalise 2000 épreuves d'effort par an.
La probabilité d'observer un accident grave lors de ces épreuves est de 1/1000.

a)Quel est la probabilité de ne pas observer d'accident''

Le corrigé résout la question avec la loi de poisson. Cependant, pour quoi ne peut pas considérer ce contexte comme un contexte adéquat à la loi binomiale, où le succès S représente un accident grave, et X le nombre de succès. X suivrait alors une loi binomiale de paramètre (2000;1/1000), non?

Peut-être que mon incompréhension vient du fait que la loi de poisson est assez flou dans ma tête : mon cours m'indique qu'elle représente le comportement d'un nombre d'événements dont la fréquence moyenne est connue. Si je comprends bien, ici le comportement représenterait le fait que parmi les épreuves d'efforts certains soit graves ou non. Mais cela revient à la loi binomiale non?

Merci d'avance pour votre aide,
Pakaa
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[gg0]

Effectivement, ton corrigé est peu sérieux : la loi adaptée est la loi binomiale. On peut d'ailleurs s'en passer (pas besoin de variable aléatoire pour répondre à la question a). Cependant, comme B(1000; 0,001) s'approxime très bien avec P(1) (loi de Poisson), pour d'autres questions, le calcul est plus simple. A condition de ne pas sauter cette étape.
Une des difficultés avec la loi de Poisson est qu'elle est un modèle adapté à certaines situations (*) et qu'il faut connaître ces situations. D'ailleurs, dans de nombreux cas, on peut commencer par modéliser avec une loi binomiale, qu'on ramène à la loi de Poisson puisque n est très grand et np petit.
Son grand intérêt est qu'elle apparaît dans des situations très utiles (processus poissoniens, files d'attente, ...).

Cordialement.

(*) et utilisée sans raison dans certains cas, malheureusement.

[invite9dc7b526]

En statistiques la loi de Poisson est utilisée pour modéliser un nombre d'événements ou d'objets, quand ce nombre n'appartient pas à un intervalle connu a priori. L'exemple historique est le nombre de soldats tués par une ruade de leur mule (ça ne s'invente pas), et d'autres exemples sont le nombre de désintégrations d'atomes dans un matériau donné, le nombre d'appels téléphoniques arrivant à un standard durant une journée, le nombre d'oeufs pondus par tel animal, etc.

Parfois on sent qu'il y a sous-jacente à ces observations une loi binomiale (par exemple le nombre total de soldats est fixé, le nombre d'atomes susceptibles de se désintégrer aussi, etc) mais les paramètres de cette loi sont difficiles à estimer ou bien ne sont pas intéressants en eux-mêmes et la loi de Poisson est mieux adaptée à l'information qu'on veut extraire des observations.

[invite91b66add]

D'accord merci à vous deux.
D'ailleurs après avoir essayer les deux lois dans le contexte, je parviens quasiment au même résultat. (ce qui coïncide bien avec les propos de gg0, on a bien np<10 et n>50, ainsi on pourrait considérer que la loi binomiale tend ici vers la loi de poisson?)

Bonne journée à vous.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

"on pourrait considérer que la loi binomiale tend ici vers la loi de poisson?" Non, tu as une loi binomiale fixe, elle ne tend vers rien. Par contre, l'approximation par une loi de Poisson est correcte.
Mais je le redis, la loi de Poisson, ou même la binomiale ne sert à rien pour la question a), l'examen de l'événement contraire montre que la proba de ne pas observer un accident grave est 999/1000 pour chaque patient, et, en utilisant l'indépendance (supposée pour la loi binomiale, passé sous le tapis pour la loi de Poisson !!) on obtient une proba de 0,999²⁰⁰⁰ pour la proba de ne pas observer d'accident dans l'année. Soit environ 0,1352.

La loi de Poisson est généralement un bon modèle pour les événements rares, mais attention : indépendants. Si les événements arrivent toujours 2 par 2, les probas de 1, 3, 5, ..événements sont systématiquement nulles.

Cordialement.

[invite91b66add]

D'accord merci beaucoup pour toutes ces précisions.