Démonstration du lemme de Riemann-Lebesgue
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Démonstration du lemme de Riemann-Lebesgue



  1. #1
    Alphasaft

    Démonstration du lemme de Riemann-Lebesgue


    ------

    Bonjour,

    Je faisais un exercice visant à démontrer le lemme de Riemann-Lebesgue sous la forme :

    Pour toute fonction f définie sur [a;b] dérivable, à dérivée continue,



    Cela se fait assez simplement par une majoration de la valeur absolue de l'intégrale, obtenue après une intégration par parties. Cependant il est écrit en note de bas de page "ce lemme est également vrai pour toute fonction continue définie sur [a;b], mais sa démonstration à ce niveau est laborieuse", avec pour résultat que par esprit de contradiction je me suis dit que j'allais le prouver. Je pense avoir réussi, mais me demandait simplement si ma démonstration était valable (je sais qu'elle est probablement assez peu élégante, mais elle correspond à l'idée intuitive que je me fais du théorème, à savoir que si lambda devient infiniment grand, les "pics" positifs et négatifs de sin se rapprochent infiniment et, puisque f est continue, la somme de leurs intégrales (l'une positive, l'autre négative) finit par s'annuler.

    ------------------------------

    On admet les deux résultats suivants :

    (R1) Pour toute fonction f continue, F(x) = est continue (théorème fondamental de l'analyse).

    (R2) Soit des fonctions définies sur [a;b] telles que . Alors : (intuitif et relativement facile à prouver).

    ------------------------------

    Pour tout , on pose , et
    Compte tenu de , on a . Puisque , on a et, en utilisant (R1) :

    .


    On écrit ensuite :



    On remarque , ce qui permet d'écrire :




    Compte tenu de , on peut écrire , où



    Encadrons , en utilisant la relation de Chasles, la positivité de la fonction intégrée et l'inégalité sur la borne supérieure, par :



    Puisque f est continue, ; (R2) et l'encadrement précédent nous montrent qu'il en est de même pour puis .

    Or on a vu que tendait également vers l'intégrale . □

    -------------------------------------

    J'ai vérifié plusieurs fois, mais les erreurs sont souvent insidieuses et moins visibles pour celui qui a écrit la démonstration, je me demandais donc s'il était possible d'y jeter un coup d'oeil et éventuellement de donner des points à améliorer/simplifier/corriger.

    Merci !

    -----
    Dernière modification par Alphasaft ; 22/07/2022 à 10h28.

  2. #2
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Démonstration du lemme de Riemann-Lebesgue

    Bonjour.

    j'ai un gros doute sur ton R2. Si vaut 0 en 0, entre 0 et , et 0 entre et 1, je n'ai pas l'impression que l'intégrale tende vers 0.

    Cordialement.

  3. #3
    Alphasaft

    Re : Démonstration du lemme de Riemann-Lebesgue

    Effectivement, il faudrait que les convergent uniformément vers 0... Arg.
    Je cherche donc une méthode alternative !

  4. #4
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Démonstration du lemme de Riemann-Lebesgue

    Pour ma part, je le vois ainsi :

    Pour suffisamment grand, on peut rendre aussi petit que l'on veut sur [a,b] puisque sin(0)=0. On majore la valeur absolue de l'intégrale par l'intégrale de sa valeur absolue, et |f(t)| étant majorée (par M) puisque continue, par l'intégrale de .
    A toi de voir comment tu peux rédiger les détails.

    Cordialement.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Alphasaft

    Re : Démonstration du lemme de Riemann-Lebesgue

    Je vais y réfléchir !
    Un grand merci pour votre aide.

    Dernière question : y a t il un moyen d'adapter ma démonstration ou tout est il a jeter du fait de l'invalidité de (R2) ?

  7. #6
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Démonstration du lemme de Riemann-Lebesgue

    Je ne sais pas; mais sans R2, ce qui te reste à justifier est quasiment le lemme que tu voulais démontrer.

  8. #7
    Alphasaft

    Re : Démonstration du lemme de Riemann-Lebesgue

    Après avoir loooongtemps réfléchi, j'ai cette version de R2, (mettons R2') qui semble vraie et me permet de conclure :

    Soit a, b deux réels, une famille de fonction continues, admettent un majorant commum M, définies sur [a;b] dans R, telles que pour tout x, . Alors :

    .


    Soit , et pour tout , .

    On a .

    Or par continuité des et par leur convergence en tout point vers 0, .

    D'où .

    Ainsi, pour tout , la limite de l'intégrale est majorée par ; sa positivité permet de conclure.

    On vérifie en utilisant notamment le théorème des bornes atteintes que R2' convient tout autant que R2.

  9. #8
    Nini42

    Re : Démonstration du lemme de Riemann-Lebesgue

    Je ne pense pas que tende vers 0 quand lambda tend vers l'infini.

    Si tu prends qui vaut 0 en a, qui monte affinement vers 1 jusqu'en , qui redescend affinement vers 0 jusqu'en et qui vaut toujours 0 ensuite, tu peux vérifier que pour tout x tend vers 0 : si x=a ça vaut toujours 0, sinon quand lambda dépasse une certaine valeur, donc ...
    Pourtant si epsilon est plus petit que 1, sera plus petit que puisque pour , , donc ne pourra pas tendre vers b-a (à moins que b=a, mais bon, l'intérêt est limité dans ce cas)

    Ce que tu cherches à démontrer, c'est un cas particulier de la convergence dominée. Je sais pas où tu en es dans tes études et peut-être qu'à ton niveau c'est tout à fait faisable, mais nous en prépa on nous dit que la démonstration est trop technique pour qu'on la fasse... je ne suis pas sûre que ça soit une méthode viable du coup, vu l'efficacité de la démonstration de gg0.

  10. #9
    Nini42

    Re : Démonstration du lemme de Riemann-Lebesgue

    Mon contre-exemple en image, peut-être plus clair

    Nom : Capture.PNG
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  11. #10
    Alphasaft

    Re : Démonstration du lemme de Riemann-Lebesgue

    Bon, de l'extérieur ça doit ressembler à de l'acharnement ; de l'intérieur ça ressemble à de l'acharnement ; ça doit donc être de l'acharnement.

    Pour la démonstration de gg0, je ne vois pas le sens du message : de deux choses l'une, soit il m'indique de majorer l'intégrale par , qui ne converge pas vers 0, soit par , qui vaut 0 pour a = 0 et b = , alors que (où t/(1+t) est bien continue) > 0. Dans le premier cas c'est inutile, dans le second c'est faux ; je ne dois donc pas en comprendre correctement le sens

    ---------------------------------

    Dernière tentative de preuve du R2', sous les mêmes hypothèses (je sais que je devrais juste laisser tomber mais tant pis) :

    On passe en intégrale de Lebesgue, dont on note la mesure et la tribu.
    Soit . On pose pour tout :

    -
    - (sup étant pris au sens de l'inclusion)
    - .

    On constate que .

    On a (si ça c'est faux je ne sais pas ce que je fais mais ça implique probablement des larmes) , ce qui revient à dire que :

    .

    Donc pour tout la limite de l'intégrale considérée est inférieure à , et sa positivité achève la démonstration.

  12. #11
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Démonstration du lemme de Riemann-Lebesgue

    Manifestement tu n'as pas lu le début de mon message, ou tu n'as pas compris l'évidence que je rappelais. Regarde la courbe de x--> sin(ax) pour des valeurs de a de plus en plus grandes.

    Cordialement

  13. #12
    Alphasaft

    Re : Démonstration du lemme de Riemann-Lebesgue

    Pardon, c'est

  14. #13
    Alphasaft

    Re : Démonstration du lemme de Riemann-Lebesgue

    Je vois à quoi ressemble cette courbe, et notamment le fait que la courbe ait de plus en plus de zéros dans l'intervalle considéré ; Mais cela n'influe pas sur la valeur de l'intégrale, si ?

  15. #14
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Démonstration du lemme de Riemann-Lebesgue

    Ah je vois que je faisais un contresens. Tu peux oublier ce que je disais. Mais cela influe bien sur la valeur de l'intégrale.
    Désolé de t'avoir fait perdre du temps.

    Cordialement.

  16. #15
    Alphasaft

    Re : Démonstration du lemme de Riemann-Lebesgue

    Pas de soucis ! Je dois vous avouer que je ne savais pas trop quoi en penser...
    Je rectifie également ce que je disais : cela influe sur la valeur de l'intégrale de Msin(at) (qui converge vers 0), mais on ne peut rien à priori en tirer.

    Dans tous les cas, merci d'avoir pris le temps de répondre.
    Dernière modification par Alphasaft ; 25/07/2022 à 09h43.

  17. #16
    0577

    Re : Démonstration du lemme de Riemann-Lebesgue

    Bonjour,

    une manière de démontrer le lemme de Riemann-Lebesgue est de d'abord traiter le cas des fonctions en escalier, puis d'approcher une fonction continue générale par des fonctions en escalier (en fait, cette preuve marche pour n'inporte quelle fonction intégrable (L^1)).

  18. #17
    Alphasaft

    Re : Démonstration du lemme de Riemann-Lebesgue

    Je sais, mais je tentais de voir s'il était possible de la prouver en utilisant uniquement des outils de niveau lycée, et pour mon grand malheur la densité de l'ensemble des fonctions en escalier dans L1 n'en fait pas partie. Mais c'est effectivement une preuve que je trouve personnellement très élégante (et qui m'a permis de comprendre pourquoi la densité d'un ensemble dans un autre était si importante) !
    Pardon de ne pas avoir été assez clair.

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