Bonjour,
Je faisais un exercice visant à démontrer le lemme de Riemann-Lebesgue sous la forme :
Pour toute fonction f définie sur [a;b] dérivable, à dérivée continue,
Cela se fait assez simplement par une majoration de la valeur absolue de l'intégrale, obtenue après une intégration par parties. Cependant il est écrit en note de bas de page "ce lemme est également vrai pour toute fonction continue définie sur [a;b], mais sa démonstration à ce niveau est laborieuse", avec pour résultat que par esprit de contradiction je me suis dit que j'allais le prouver. Je pense avoir réussi, mais me demandait simplement si ma démonstration était valable (je sais qu'elle est probablement assez peu élégante, mais elle correspond à l'idée intuitive que je me fais du théorème, à savoir que si lambda devient infiniment grand, les "pics" positifs et négatifs de sin se rapprochent infiniment et, puisque f est continue, la somme de leurs intégrales (l'une positive, l'autre négative) finit par s'annuler.
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On admet les deux résultats suivants :
(R1) Pour toute fonction f continue, F(x) =est continue (théorème fondamental de l'analyse).
(R2) Soitdes fonctions définies sur [a;b] telles que
. Alors :
(intuitif et relativement facile à prouver).
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Pour tout, on pose
,
et
Compte tenu de, on a
. Puisque
, on a
et, en utilisant (R1) :
.
On écrit ensuite :
On remarque, ce qui permet d'écrire :
Compte tenu de, on peut écrire
, où
Encadrons, en utilisant la relation de Chasles, la positivité de la fonction intégrée et l'inégalité sur la borne supérieure, par :
Puisque f est continue,; (R2) et l'encadrement précédent nous montrent qu'il en est de même pour
puis
.
Or on a vu quetendait également vers l'intégrale
. □
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J'ai vérifié plusieurs fois, mais les erreurs sont souvent insidieuses et moins visibles pour celui qui a écrit la démonstration, je me demandais donc s'il était possible d'y jeter un coup d'oeil et éventuellement de donner des points à améliorer/simplifier/corriger.
Merci !
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