Mesure d'une suite de parties "convergeant" vers l'ensemble vide
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Mesure d'une suite de parties "convergeant" vers l'ensemble vide



  1. #1
    Alphasaft

    Mesure d'une suite de parties "convergeant" vers l'ensemble vide


    ------

    Je me posais la question suivante, en apparence simple mais dont la preuve me résiste depuis quelques jours.

    Soit un ensemble mesuré, une suite de parties de X décroissante pour l'inclusion et telle que , enfin une suite de parties mesurables telles que .
    Est-ce que ?

    A priori oui, mais je tourne en rond sans trouver de moyen de le démontrer hors des cas où la suite (A_n) est décroissante pour l'inclusion et celui, évident, où (B_n) est mesurable à partir d'un certain rang. Et comme la dernière fois que quelque chose d'évident en apparence me résistait à ce point pour la démonstration, ce quelque chose était faux, je me méfie.

    Mes trois questions sont donc :
    * Est-ce que cette conjecture est vraie pour n'importe quelle mesure ?
    * Est-elle vraie pour n'importe quelle mesure sous certaines conditions (complétude par ex ?)
    * Et surtout, est-elle vraie pour la mesure de Lebesgue (qui est pour être sincère le cas qui m'importe le plus).

    Merci d'avance !

    Question additionnelle (désolé) : a-t-on besoin de l'axiome du choix pour construire des parties non-Lebesgue-mesurables, ou suppose-t-on qu'on en a besoin pour en construire ?

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    Dernière modification par Alphasaft ; 27/07/2022 à 19h40.

  2. #2
    Médiat

    Re : Mesure d'une suite de parties "convergeant" vers l'ensemble vide

    Il me semble que l'on peut "facilement" extraire une suite décroissante de A_n ou A_n est constante égale au vide à partir d'un certain rang et dans les 2 cas on peut conclure.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  3. #3
    Alphasaft

    Re : Mesure d'une suite de parties "convergeant" vers l'ensemble vide

    Mais extraire une sous-suite strictement décroissante n'équivaut pas à montrer la convergence de la suite initiale, si ? Je suppose qu'il y a quelque chose que j'ai loupé et qui permettrait de montrer que si, la convergence de la sous-suite est équivalente à celle de la suite initiale, mais laquelle ? Si vous pouviez m'éclairer là-dessus...

  4. #4
    Alphasaft

    Re : Mesure d'une suite de parties "convergeant" vers l'ensemble vide

    D'ailleurs je crois qu'une telle sous-suite n'existe pas toujours : Si on prend la mesure de Lebesgue, et , on ne peut pas extraire de sous-suite décroissante de , et pourtant toutes les hypothèses de la conjecture sont réunies.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Alphasaft

    Re : Mesure d'une suite de parties "convergeant" vers l'ensemble vide

    Je n'ai rien dit, c'était moins difficile que prévu (et c'est vrai pour n'importe quelle mesure) :

    On pose . La suite est décroissante pour l'inclusion, et on peut utiliser : .
    Or on a manifestement , d'où , et . Or pour tout n, , et : .

    (Je ne connais par contre toujours pas la réponse à ma question concernant la nécessité de l'axiome du choix).
    Dernière modification par Alphasaft ; 27/07/2022 à 23h20.

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