Je me posais la question suivante, en apparence simple mais dont la preuve me résiste depuis quelques jours.
Soitun ensemble mesuré,
une suite de parties de X décroissante pour l'inclusion et telle que
, enfin
une suite de parties mesurables telles que
.
Est-ce que?
A priori oui, mais je tourne en rond sans trouver de moyen de le démontrer hors des cas où la suite (A_n) est décroissante pour l'inclusion et celui, évident, où (B_n) est mesurable à partir d'un certain rang. Et comme la dernière fois que quelque chose d'évident en apparence me résistait à ce point pour la démonstration, ce quelque chose était faux, je me méfie.
Mes trois questions sont donc :
* Est-ce que cette conjecture est vraie pour n'importe quelle mesure ?
* Est-elle vraie pour n'importe quelle mesure sous certaines conditions (complétude par ex ?)
* Et surtout, est-elle vraie pour la mesure de Lebesgue (qui est pour être sincère le cas qui m'importe le plus).
Merci d'avance !
Question additionnelle (désolé) : a-t-on besoin de l'axiome du choix pour construire des parties non-Lebesgue-mesurables, ou suppose-t-on qu'on en a besoin pour en construire ?
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