DM de maths :construction d'une suite de nombres rationnels convergeant vers racine de 2

[leszoud]

bonjour
j'aurai juste besoin d'un coup de pouce pour ce DM

1 quelles sont les solutions de l'equation (E) : x=1/(2+x) on notera a la solution positive ( je trouve a= racine de 2 +1)

2 soit (un) la suite def par uo=0 et u(n+1)= 1/(2+un)
justifier rapidemnt que un est parfaitement def et que tous les termes appartiennent à (0;1) (ça c'est fait )
montrer que pout tout n valeur absolue de ( u(n+1) -a) ≤ 1/4 (valeur absolue de (un-a))
montere alrs par récurrence sur n que, pour tout n, valeur absolue de ( u(n+1) - a)≤ (1/4)puissance n
conclure sur la convergence de un

3 soit vn la suite def par vn= un + 1 pout tout n
demontrer par récurrance sur n que tous les termes vn sont rationnels . quelle est la limite de vn?
conclure
merci beaucoup pour votre aide
-----

[inviteac5028a9]

salut leszoud,

Pour la question 1) je trouve comme solutions et et la solution positive est .

Pour les autres questions où est ce que tu coinces ?

[leszoud]

oui dsl je me suis trompée en écrivant
je coince à partir " montrer que pout tout n valeur absolue de ( u(n+1) -a) ≤ 1/4 (valeur absolue de (un-a))"
merci de votre aide

[leszoud]

j'ai réussi la quetion 3 mais pas la 2 :montrer que pout tout n valeur absolue de ( u(n+1) -a) ≤ 1/4 (valeur absolue de (un-a))
merci de votre aide
ps le pb c'est qu'on a pas encore fait le Théorème dit "inégalité des accroissements finis avec valeur absolue" ....

[A voir en vidéo sur Futura]