Bonjour,
question peut être vague mais je me la pose et veux en discuter:
Quand est ce qu'il est plus judicieux de parler d'intégrale selon Lebesgue que d'intégrale de Riemann ? Et quels sont les conditions sous lesquelles les deux intégrales coïncident ? Quelqu'un veut en parler ou me donner un lien que je puisse farfouiller ?
Salut !
elles coincident sur les fonctions riemann-intégrables. (ie, dès que l'intégrale de riemann est défini)
à ma connaissance, il n'y à absolument aucune raison de vouloir parler d'intégrale de riemann plutot que d'intégrale de lebesgue, à part pour des raisons pédagogique, ou on si on s'adresse à qqn qui ne connait pas l'intégrale de Lebesgue.
Mes souvenirs sont loin, mais il me semble que x -> sin(x)/x est Riemann-intégrable sur R, et non Lebesgue-intégrable.
Par ailleurs, la théorie de Riemann vit très bien sans axiome du choix, alors que la théorie de Lebesgue est assez copine avec lui, non ?
ah il faudrait le démontrer ça ! a priori on aurait pas Riemann intégrable implique Lebesgue intégrable tout le temps ? Je veux dire en regardant la définition de Lebesgue intégrable...
Ok, j'ai fait quelques recherches et voici ce qu'il en ressort:
L'intégrale de Riemann est conçue sur la base de deux idées:
1) On subdivise l'ensemble de départ de la fonction en intervalles. Cela suppose que l'ensemble de départ peut être découpé en intervalles! (ce qui n'est pas le cas de toutes les fonctions... Prendre l'indicatrice d'un cantor ou ou des rationnels ...)
2) On calcule l'intégrale par convergence de deux suites adjacentes ce qui sous tend l'idée d'encadrer la fonction et donc suppose que l'on peut trouver une fonction qui majore celle que l'on souhaite intégrer.
L'intégrale de Lebesgue généralise quelque peu cette notion puisqu'elle est conçue sur la base de deux idées moins contraignantes:
1) On subdivise l'ensemble d'arrivée de la fonction au lieu de celui de départ et on regarde leur images réciproques. La subdivision de l'ensemble de départ qui en résulte n'est donc pas [forcément] formée d'intervalles mais d'ensembles plus compliqués.
2) On calcule l'intégrale de la fonction simplement en calculant le sup des fonctions étagées (i.e. une fonction en escaliers, mesurable et ne prenant qu'un nombre fini de valeurs -je fais référence au fil suivant:http://forums.futura-sciences.com/ma...-lebesgue.html) qui sont majorées pas la fonction en question. A priori on en trouve toujours...
Ici on voit clairement que l'on va pouvoir travailler à l'aide de l'intégrale de Lebesgue sur des classes de fonctions plus vastes incluant des fonctions non continues et/ou non bornées sur leur ensemble de départ.
Dans le cas de la classe des fonctions monotones réelles, les deux descriptions coïncident. En effet, les images réciproques des morceaux de la subdivision de l'ensemble d'arrivée sont des intervalles. Donc sur cette classe on a l'équivalence R-intégrable <=> L-intégrable.
Plus généralement, toute fonction positive R-intégrable est L-intégrable. En effet, R-intégrable suppose la convergence de deux suites adjacentes l'une majorant la valeur de l'intégrale de f et l'autre la minorant. Cela signifie que cette limite est finie par définition de la convergence d'une suite. Cela implique donc que l'intégrale est finie donc L-intégrable.
La réciproque est fausse i.e. L-intégrable n'implique pas R-intégrable même si la fonction est bornée. En effet, il suffit de considérer la fonction contre-exemple qui est l'indicatrice des rationnels (fonction de Dirichlet). Cette fonction n'est pas R-intégrable puisque dans son estimation par les sommes de Riemann, on a non unicité de la limite selon les valeurs que l'on attribue à chaque morceau de la subdivision i.e. l'image d'un rationnel ou d'un réel faisant s'annuler ou non la somme entière. Mais elle est L-intégrable parce queest de mesure nulle puisque dénombrable donc l'intégrale de l'indicatrice de
voilà ce que j'ai trouvé pour l'instant sur les deux constructions. Il y a aussi l'intégrale de Henstock-Kurtzweil, mais elle est trop moche à mon goût.
leon1789 tu fais référence au fait que l'on prouve l'existence d'ensembles contenus dans
D'ailleurs c'est une bonne question. Si on définit la fonction indicatrice des parties non boréliennes de
je veux dire lorsque tu parles de l'axiome du choix...leon1789 tu fais référence au fait
Bonjour.
L'axiome du choix est vraiment loin d'être indispensable à la construction de l'intégrale de Lebesgue.
On peut très bien l'utiliser sans connaitre l'existence de parties non mesurables.
Les fonctions Riemann intégrables au sens propre sur un segment sont Lebesgue intégrables, à condition de munir le segment de la tribu de Lebesgue (la complétée de la tribu de Borel), et non de la tribu de Borel (car dans ce cas là, il peut exister des fonctions Riemann intégrables qui ne sont pas mesurables, mais seulement égales presque partout à une fonction mesurable)
Le seul point où l'on perd un peu, c'est avec les intégrales généralisées. Si l'intégrale généralisée au sens de Riemann converge absolument, alors la fonction va être Lebesgue intégrable.
Si on a seulement la semi convergence, alors elle sera pas Lebesgue intégrable. Voir par exemple la fonction
Nouvelle question :
On sait qu'on peut utiliser la technique d'intégration par partie lorsque les deux intégrales (selon Riemann et selon Lebesgue) coïncident. Mais est-ce le seul cas ? Peut-on intégrer par partie lorsque l'on n'est pas Riemann intégrable mais "seulement" Lebesgue intégrable ?
Merci pour ces précisions Arkhnor ! C'est vrai que j'ai été vague. Ce que j'ai dit ne fonctionne effectivement que pour les fonctions à support compact. Et en effet, le cas intéressant est celui des intégrales généralisées...
Aussi merci pour la précision à propos des lebesguiens. Cependant aurais-tu un exemple d'une telle fonction? Et pourrais-tu me rappeller la notion de semi-convergence ? (c'est pour le fil, je peux checker ça sur google tout seul en fait ...)
Pardon pour le flood, mais à chaque fois je dépasse le temps limite pour éditer ...
Donc voici un fil connexe aux questions de Riemann intégrabilité généralisée.
http://forums.futura-sciences.com/ma...-lebesgue.html
La semi-convergence, c'est lorsque l'intégrale généralisée de f converge, mais que l'intégrale de |f| ne converge pas. (on a la convergence, mais pas la convergence absolue)
On a l'analogue avec les séries : séries absolument convergentes (qui ont de bonnes propriétés), et séries semi-convergentes (plus délicates à manipuler). D'ailleurs, la théorie de Lebesgue contient la théorie des séries absolument convergentes. (on intègre sur
Pour la construction d'une fonction Riemann intégrable qui ne soit pas mesurable si on munit l'espace de départ de la tribu de Borel (elle sera mesurable si on le munit de la tribu de Lebesgue), tu peux consulter Théorie de l'intégration de Briane et Pagès, car je ne me souviens plus des détails.
En fait, je crois que l'on considère comme fonction l'indicatrice d'une partie qui est dans la tribu de Lebesgue, et pas dans la tribu de Borel, et qui est contenue dans l'ensemble de Cantor. Cette fonction n'est pas mesurable pour la tribu de Borel (l'image réciproque de {1} n'est pas un borélien), mais elle est quand même Riemann intégrable.
On dispose d'une formule d'intégration par parties pour les fonctions absolument continues.
On dit que
On a
Si
La preuve utilise le théorème de Fubini.
"l'intégrabilité" de sin(x)/x n'est qu'une question de vocabulaire. soit on parle de fonction intégrable et de fonction "absoluement intégrable" soit on parle de fonction intégrable et d'intégrale convergente.
dans la terminologie que j'utilise (la seconde) sin(x)/x n'est pas intégrable sur R (que ce soit au sens de riemann ou de lebesgue...) mais l'intégrale de sin(x)/x entre 0 et l'infini est convergente. et qu'on utilise l'intégrale de riemann ou de lebesgue ne change rien : cette intégrale à dans les deux cas le sens "limite quand t tend vers l'infini de l'intégrale de sin(x)/x entre 0 et t"
Je ne suis pas très d'accord.l'intégrale de riemann ou de lebesgue ne change rien
L'intégrabilité selon Lebesgue a une définition claire i.e. la finitude de l'intégrale de la valeur absolue de la fonction. La "limite quand t tend vers l'infini de l'intégrale de f entre 0 et t" ne renseigne pas sur la Lebesgue intégrabilité.
D'ailleurs je voulais poser une question à propos de
Maintenant pour prouver qu'elle n'est pas absolument convergente, j'ai pensé à trouver une minoration presque partout. En effet, l'ensemble
Or
C'est correct ?
pardon !
Le problème avec ta minoration, c'est qu'epsilon dépend de x, donc tu ne peux pas en tirer grand chose (tu n'as pas minoré la fonction par une autre ...)
Une manière de faire consiste à découper l'intervalle d'intégration en intervalles de la forme
C'est fait sur la page Wikipédia : http://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%...e_de_Dirichlet.
Pour cette question d'intégrabilité, la définition avec la limite des intégrales généralisées parait un peu superficielle, au sens où elles ne sont pas directement incluse dans la définition de départ.
Mais ce n'est qu'un point de vue subjectif ...
Tu as parlé de l'intégrale de Kurtzweil-Henstock, celle-ci contient les intégrales semi-convergentes, comme celle de Dirichlet.
Je ne la trouve pas si moche, c'est juste une sophistication de l'intégrale de Riemann.
Après, elle n'est pas beaucoup utilisée, surement parce qu'elle ne se généralise pas à des espaces quelconques, a l'inverse de celle de Lebesgue.
Envoyé par fulliculli
ce que j'ai dit, c'est que en ce qui me concerne, sin(x)/x n'est pas non plus intégrable au sens de Riemann sur R (si j'essai de l'encadrer par des fonctions en escalier ca va pas fonctionner...). mais c'est juste une question de vocabulaire, si t'as envie de prendre comme définition de riemann intégrable sur R la "limite quand t tend vers l'infini..." j'ai aucun problème avec ca, mais ca ne fais pas de l'intégrale de riemann qqch de plus performant que l'intégrale de lebesgue dans cette situation, puisque rien n'empeche de prendre la meme définition pour l'intégrale de lebesgue.
Merci à vous deux !
Mais je signale juste quelque chose: je ne préfère aucune des constructions à l'autre et ne cherche pas de cas où l'une est mieux que l'autre, j'essaie de comprendre leurs différences et leurs liens sur divers exemples avec vous. Aussi, à propos de la HK intégrabilité, je disais que je la trouve moche parce que en fait je l'ai étudiée à la fac et ça nous a été présenté de manière assez rébarbative...
Ensuite:
Et si je prends l'inf de ces epsilon comme minorant uniforme par rapport àLe problème avec ta minoration, c'est qu'epsilon dépend de x, donc tu ne peux pas en tirer grand chose (tu n'as pas minoré la fonction par une autre ...)
Rien n'empêche l'inf d'être nul (d'ailleurs, avec ton choix des epsilon, il va l'être), et dans ce cas, tu ne seras pas beaucoup avancé.
