application lineaire

[invite6872fbd4]

Bonjour, je viens de reprendre les cours d'algèbre après de longue années de rupture et j'ai perdu pas mal de réflexes. J'aimerais connaitre votre avis sur la solution d'un exercice que je viens de faire.
Enoncé : E est un espace vectoriel de dimension n. F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E.
Montrer que dimE=dimF+dimG ssi il existe un endomorphisme u de E tel que Imu=F et Keru=G
Ma propre solution :
On suppose dimE=dimF+dimG
Soit (e1,e2,......,en) une base de E
(e1,e2,.....;,ep) une base de F dim F=p
(e(p+1).....,;en) une base de G dimG=n-p
Soit u:E------->E défini par :
pour tout i appartenant à [1,p] u(ei)=ei
pour tout i appartenant à [p+1,n] u(ei)=0

Imu=Vect(u(e1).........,u(en)) =vect(e1,.....ep)=F
Vect(ep+1,....en) C keru

dimE=dim Imu + dimKeru
dimKer u= n-p=dim G
donc G=keru

l'autre implication est triviale, il suffit d'appliquer le théorème du rang.

Problème : Je sens que ma démonstration n'est pas cohérente j'ai vu une démonstration de ce résultat sur un livre, ils ont considéré H un supplémentaire de G dans E je sais pas pourquoi ?
Merci d'avance
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[Flyingsquirrel]

Salut,

Soit (e1,e2,......,en) une base de E
(e1,e2,.....;,ep) une base de F dim F=p
(e(p+1).....,;en) une base de G dimG=n-p

En écrivant cela tu supposes que est un supplémentaire de dans mais ça n'est pas forcément vrai, on peut très bien avoir sans que (c'est par exemple le cas pour avec ).

[invite9cf21bce]

Bonjour.

En l'état, ta démonstration du sens direct ne marche pas car il n'y a aucune raison que F et G soient supplémentaires.

Autrement dit, quand tu prends ta base (e₁,...,e_p) de F et ta base (e_p+1,...,e_n) de G, la famille complète (e₁,...,e_p,e_p+1,...,e_n) n'est pas une base de E en général.

L'astuce classique consiste à introduire un supplémentaire H de G, à introduire un endomorphisme u comme tu l'as fait (mais avec H et G), puis à faire intervenir un isomorphisme H --> F pour construire l'application demandée. En termes de bases, si (e₁,...,e_p) est une base de H, (e_p+1,...,e_n) une base de G et (e'₁,...,e'_p) une base de F, tu associes e'_i à e_i pour i = 1,...,p (et 0 aux autres vecteurs).

Mince, Flyingsquirrel m'a à moitié grillé.

Taar.