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[Analyse] Riemann VS Lebesgue



  1. #1
    Sephi

    [Analyse] Riemann VS Lebesgue


    ------

    Considérons une fonction .

    Soit l'ensemble :



    qui sert à la définition de l'intégrale de Riemann, et l'ensemble :



    qui sert à la définition de l'intégrale de Lebesgue.

    Dans ce cas-ci, lequel de ces ensembles contient l'autre ? Sont-ils égaux ?

    -----

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  3. #2
    doryphore

    Smile Re : [Analyse] Riemann VS Lebesgue

    Demande-toi si les fonctions en escaliers sont simples ?
    Puis essaie de trouver une fonction simple qui ne soit pas en escalier...
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  4. #3
    Sephi

    Re : [Analyse] Riemann VS Lebesgue

    Toute fonction en escalier est évidemment simple. En fait, je ne vois pas très bien la différence entre les 2 définitions, dans le cas réel, alors que j'ai l'impression qu'il y a + de fonctions simples que de fonctions en escaliers.

  5. #4
    matthias

    Re : [Analyse] Riemann VS Lebesgue

    Essaie par exemple de découper [a;b] en une union de deux ensembles mesurables, avec une fonction qui vaut 0 sur l'un, 1 sur l'autre, mais de manière à ce que le découpage ne soit pas représentable par une simple subdivision.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    nissart7831

    Re : [Analyse] Riemann VS Lebesgue

    Bonjour,

    juste une petite précision, svp : quelle est la définition d'une fonction simple? Je ne me souviens pas d'avoir vu ce terme.

  8. #6
    Sephi

    Re : [Analyse] Riemann VS Lebesgue

    Raaah la fonction de Dirichlet ! Qui est intégrable par Lebesgue, mais pas par Riemann.

    En fait, je viens de revoir la définition d'une fonction en escaliers, et elle exige une subdivision de l'intervalle en un nombre FINI de sous-intervalles, alors qu'une fonction simple n'a pas cette restriction ...

    C'est bon là je crois
    Dernière modification par Sephi ; 06/01/2006 à 16h18.

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  10. #7
    matthias

    Re : [Analyse] Riemann VS Lebesgue

    Citation Envoyé par Sephi
    Raaah la fonction de Dirichlet ! Qui est intégrable par Lebesgue, mais pas par Riemann.
    Oui c'est l'exemple classique

    Pour Nissart, fontion "simple" est normalement la dénomination anglaise, en français on devrait dire "étagée", c'est à dire une combinaison linéaire finie de fonctions indicatrices d'ensembles mesurables.

  11. #8
    Sephi

    Re : [Analyse] Riemann VS Lebesgue

    Ou une autre définition plus "simple" peut-être : une fonction étagée est une fonction qui prend un nombre fini de valeurs {a1, ..., ak}.

  12. #9
    nissart7831

    Re : [Analyse] Riemann VS Lebesgue

    Merci matthias.

    En effet, moi je connaissais le terme étagée.

    Une autre précision, cependant, car entre temps j'avais trouvé une définition sur le site www.les-mathematiques.net : http://www.les-mathematiques.net/a/a...e12.php3#aaik1

    Définition : Une fonction est dite étagée si elle ne prend qu'un nombre fini de valeurs.
    Une fonction simple est une application s de X dans [0, [ mesurable et étagée.

    On parle bien de la même chose! Et il semblerait que le terme existe aussi en français.

  13. #10
    matthias

    Re : [Analyse] Riemann VS Lebesgue

    En fait je crois que ma condition d'ensembles mesurables ne fait pas partie de la définiton, et donc la version de Sephi est plus simple.

    Du coup pour qu'une fonction étagée f soit mesurable, il faut que soit mesurable.

    Par contre je suis à peu près sûr, que le terme "simple" est le terme anglais, même si il est très utilisé et je ne suis pas convaincu de la différence introduite par les-mathematiques.net sur le fait que simple = étagée + mesurable. Je vais vérifier avec plusieurs sources (j'ai le Laurent Schwatrz sous la main) et je vous tiens au courant. Ceci-dit il est aussi possible que plusieurs définitions coexistent.

  14. #11
    Sephi

    Re : [Analyse] Riemann VS Lebesgue

    Ah oui.

    Dans mon cours d'analyse, une fonction simple = une fonction étagée, pas nécessairement mesurable.

    Comme quoi, on trouve de tout ...

    PS : Mon cours repose sur des bouquins de Rudin et Kolmogorov, dans lesquels une fonction simple n'est pas nécessairement mesurable.

    Voilà
    Dernière modification par Sephi ; 06/01/2006 à 16h47.

  15. #12
    matthias

    Re : [Analyse] Riemann VS Lebesgue

    Bon j'ai aussi un cours où étagée => mesurable, Schwartz a l'air de dire la même chose, mais je ne crois pas que ce soit très important de toute façon, on ne doit pas utiliser souvent de fonctions prenant un nombre fini de valeurs mais étant non mesurables.

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  17. #13
    evariste_galois

    Re : [Analyse] Riemann VS Lebesgue

    Citation Envoyé par Sephi
    Raaah la fonction de Dirichlet ! Qui est intégrable par Lebesgue, mais pas par Riemann.
    Quelle est cette fonction de Dirichlet s'il te plait, je ne la connais pas?
    Il me semble l'exemple le plus classique de fonction Lesbegue-intégrable et non Riemann-intégrable est la restriction de la fonction indicatrice des rationnels à l'intervalle [0;1].
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  18. #14
    matthias

    Re : [Analyse] Riemann VS Lebesgue

    Bien vu evariste, c'est la même Pas nécessairement restreinte à [0;1], mais cette remarque n'est d'aucun intérêt

  19. #15
    Sephi

    Re : [Analyse] Riemann VS Lebesgue

    Hé oui, rares sont les gens qui savent que c'est de môssieur Dirichlet !

  20. #16
    Quinto

    Re : [Analyse] Riemann VS Lebesgue

    Citation Envoyé par Sephi
    Toute fonction en escalier est évidemment simple.
    Non, aucune des classes de fonction ne contient l'autre.
    La fonction partie entière est en escalier et non simple.
    La fonction de Dirichlet est simple et non en escaliers.
    A+

  21. #17
    Sephi

    Re : [Analyse] Riemann VS Lebesgue

    Citation Envoyé par Quinto
    Non, aucune des classes de fonction ne contient l'autre.
    La fonction partie entière est en escalier et non simple.
    La déf. d'une fonction en escalier, dans le cadre de l'intégrale de Riemann, s'applique uniquement à des fonctions définies sur un intervalle. La fonction partie entière, définie sur un intervalle, est bien en escalier ...
    Dernière modification par Sephi ; 06/01/2006 à 20h17.

  22. #18
    matthias

    Re : [Analyse] Riemann VS Lebesgue

    Sephi, Quinto dit bien que la fonction partie entière est en escalier. Par contre (question à Quinto) sur qulle définition t'appuies-tu pour dire qu'elle est non simple (à partir du moment où on la considère sur u n ensemble borné pour qu'elle prenne un nombre fini de valeurs) ?
    Dernière modification par matthias ; 06/01/2006 à 20h30.

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  24. #19
    Sephi

    Re : [Analyse] Riemann VS Lebesgue

    Oui distraction de ma part Je veux dire que si la fct partie entière est en escalier, alors par déf. elle est définie sur un intervalle borné, du coup elle est simple.
    Dernière modification par Sephi ; 06/01/2006 à 21h20.

  25. #20
    Quinto

    Re : [Analyse] Riemann VS Lebesgue

    Citation Envoyé par matthias
    (à partir du moment où on la considère sur u n ensemble borné pour qu'elle prenne un nombre fini de valeurs) ?
    Une fonction est en escalier si elle est constante par morceaux non?
    En tout cas c'est la définition que je crois en avoir eu.
    Ne l'ayant plus sous les yeux, il y'a peut être une subtilité qui m'échappe.

    Sinon si c'est bien ce que je dis, alors la fonction définie sur [0,1] par
    f(0)=0 et f(1)=1
    f(x)=1/n sur [1/(n+1),1/n[
    est bien une fonction en escalier sur un intervalle bornée et est non simple.
    Simple étant le fait qu'elle prend un nombre fini de valeurs.
    A+

  26. #21
    Sephi

    Re : [Analyse] Riemann VS Lebesgue

    La déf. d'une fct en escalier dans le cadre de Riemann nécessite un intervalle fini ET une subdivision en un nbre fini de sous-intervalles

    Mais bon, on a bien compris que dans le cas général, il existe plein de fonctions constantes par morceaux qui ne sont pas simples.

  27. #22
    Quinto

    Re : [Analyse] Riemann VS Lebesgue

    Alors dans ce cas là c'est trivial, et j'ai parlé pour ne rien dire
    A+

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