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factorisation de polynôme



  1. #1
    yonyon

    factorisation de polynôme


    ------

    bonjour, j'ai un problème avec cet exo:
    factoriser P=X^(2n)+X^n+1 ( n entier naturel)
    je ne vois pas du tout comment m'y prendre
    Merci d'avance pour votre aide

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    invite19431173

    Re : factorisation de polynôme

    Factorise par X^n

  4. #3
    Quinto

    Re : factorisation de polynôme

    Salut,
    non ce n'est pas tellement une solution, mais en posant Y=X^n (ou Y(n)=X^n) ca va fonctionner, car on se raène à du second degré ...
    A+

  5. #4
    invite19431173

    Re : factorisation de polynôme

    yonyon, c'est X^n + 1 ou alors X^(n+1) ? Parce que j'avais supposé la deuxième solution, et si ce n'est pas le cas, alors oublie ce que j'ai dit et adule Quinto !

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    GuYem

    Re : factorisation de polynôme

    Je crois que c'est la deuxième solution
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  8. #6
    Quinto

    Re : factorisation de polynôme

    Citation Envoyé par benjy_star
    et adule Quinto !
    Aduler peut être pas...
    Quoique ca ne me dérangerait pas

  9. Publicité
  10. #7
    invite19431173

    Re : factorisation de polynôme

    Ben si c'est la deuxième solution (X^(n+1)) avec le changement de variable, il me reste un X... J'ai pas tout compris ?

  11. #8
    Hanuman

    Re : factorisation de polynôme

    Bonjour !

    Si on fait le changement de variable Y = X^n
    on obtient P(Y) = Y^2 + Y + 1 dont les racines complexes sont j = exp(2i*pi/3) et j^2=exp(4i*pi/3)
    P(Y) = (Y-j)(Y-j^2)
    P(X) = (X^n - j)(X^n - j^2)
    Et on peut poursuivre la décomposition en faisant apparaître les racines nièmes de j et de j^2.

    Hanuman

  12. #9
    yonyon

    Re : factorisation de polynôme

    Merci beaucoup et c'était bien la première solution: (X^n) +1 sinon j'aurais mis des parenthèses...

  13. #10
    Hanuman

    Re : factorisation de polynôme

    En fait, il faut savoir si tu dois décomposer dans C[X] ou dans R[X].

    Si c'est dans C[X], on obtient :
    produit de k=0 à k=n-1 (X - exp(2i*pi/3n+2ik*pi/n) * produit de k=0 à k=n-1 (X - exp(-2i*pi/3n-2ik*pi/n)
    (soit le produit de 2n polynômes de degré 1)

    Si c'est dans R[X], on doit obtenir des trinômes à coefficients réels en combinant 2 à 2 les racines de j et de j^2 qui sont conjuguées (car j^2 est le conjugué de j).
    Ce qui donne :
    produit de k=0 à k=n-1 (X^2 -2Xcos(2*pi/3n+2k*pi/n) + 1)
    (soit le produit de n trinômes irréductibles)

    Bon courage !

    Hanuman

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