factorisation de polynôme

[invite0f0e1321]

bonjour, j'ai un problème avec cet exo:
factoriser P=X^(2n)+X^n+1 ( n entier naturel)
je ne vois pas du tout comment m'y prendre
Merci d'avance pour votre aide
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[invite19431173]

Factorise par X^n

[inviteab2b41c6]

Salut,
non ce n'est pas tellement une solution, mais en posant Y=X^n (ou Y(n)=X^n) ca va fonctionner, car on se raène à du second degré ...
A+

[invite19431173]

yonyon, c'est X^n + 1 ou alors X^(n+1) ? Parce que j'avais supposé la deuxième solution, et si ce n'est pas le cas, alors oublie ce que j'ai dit et adule Quinto !

[A voir en vidéo sur Futura]

[GuYem]

Je crois que c'est la deuxième solution

[inviteab2b41c6]

et adule Quinto !

Aduler peut être pas...
Quoique ca ne me dérangerait pas

[invite19431173]

Ben si c'est la deuxième solution (X^(n+1)) avec le changement de variable, il me reste un X... J'ai pas tout compris ?

[invite05d28789]

Bonjour !

Si on fait le changement de variable Y = X^n
on obtient P(Y) = Y^2 + Y + 1 dont les racines complexes sont j = exp(2i*pi/3) et j^2=exp(4i*pi/3)
P(Y) = (Y-j)(Y-j^2)
P(X) = (X^n - j)(X^n - j^2)
Et on peut poursuivre la décomposition en faisant apparaître les racines nièmes de j et de j^2.

Hanuman

[invite0f0e1321]

Merci beaucoup et c'était bien la première solution: (X^n) +1 sinon j'aurais mis des parenthèses...

[invite05d28789]

En fait, il faut savoir si tu dois décomposer dans C[X] ou dans R[X].

Si c'est dans C[X], on obtient :
produit de k=0 à k=n-1 (X - exp(2i*pi/3n+2ik*pi/n) * produit de k=0 à k=n-1 (X - exp(-2i*pi/3n-2ik*pi/n)
(soit le produit de 2n polynômes de degré 1)

Si c'est dans R[X], on doit obtenir des trinômes à coefficients réels en combinant 2 à 2 les racines de j et de j^2 qui sont conjuguées (car j^2 est le conjugué de j).
Ce qui donne :
produit de k=0 à k=n-1 (X^2 -2Xcos(2*pi/3n+2k*pi/n) + 1)
(soit le produit de n trinômes irréductibles)

Bon courage !

Hanuman