Exercice sur les fonctions

[Jules7]

Bonjour à toutes et à tous, pendant les vacances je dois faire cet exercice mais je ne vois pas du tout comment l'aborder et donc le faire.... voici l'énoncé :

Soit f E C(R+;R). On suppose que f(0)=0 et lim f(x) ( quand x tend vers +inf) = 1. Le but de l'exercice est de montrer que f est bornée et admet un minimum sur R+.

1. Justifier qu'il existe un réel A>0 tel que pour x E [A,+inf[, 1/2 _< f(x) _< 3/2.
2. À l'aide des restrictions de f à [0;A] et à [A;+inf[, justifier que f est bornée sur R+.
3. Montrer que f admet un minimum sur R+.
4. Montrer à l'aide d'un contre exemple que f n'admet pas nécessairement de maximum sur R+.
J'ai réussi la question 1, j'ai quelques idées pour la 2(mais je bloque).
Merci d'avance pour votre réponse et votre aide.
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[gg0]

Bonjour.

Que tu ne saches pas quoi faire est surprenant ! Ou tu n'as jamais lu ton cours ?
1) c'est quasiment une copie de la définition de la limite. Enfin si on se rend compte (donc on a réfléchi) que 1 est entre 1/2 et 3/2.
2) C'est aussi une question de cours quand on a compris ce que veut dire intuitivement "bornée", en particulier que si f est bornée sur chaque intervalle, elle est bornée sur R+.

Fais déjà ça, donne ta rédaction de ces deux questions ici, et fais quelques propositions pour la 3 (C'est ton exercice, c'est toi qui dois t'entrainer à faire ce genre de choses - voir https://forums.futura-sciences.com/m...ces-forum.html )

Cordialement.

[Tryss2]

Est-ce que tu ne connaitrai pas par hasard un théorème qui dit qu'une fonction continue sur un intervalle [a,b] est bornée ?

[Jules7]

Excusez moi pour la réponse tardive, j'étais entrain de déjeuner.
Je vous remercie pour vos réponses.
J'ai trouvé la 1, la 2 et la 4 mais je ne sais pas comment trouvé la 3... Peut être, dois je utilisé le TVI ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Dommage de ne pas l'avoir dit tout de suite

Pour la 3, tu connais sans doute le théorème qui dit qu'une fonction continue sur un intervalle [a; b] est bornée et atteint ses bornes. D'autre part, sur ]A, +oo[, ta fonction est toujours supérieure à f(0) donc n'aura pas un minimum.

Cordialement.

[Jules7]

Merci infiniment, je vous remercie de m'avoir consacré de votre temps !
J'ai juste une dernière question, pour la 2 j'ai utilisé l'image d'un segment par une application continue, comment dois je m'y prendre pour justifier sur R+(c'est à dire faire le lien entre les deux intervalles ?)

[gg0]

Autrement dit, tu n'as pas fait la 2 (*). Sérieusement, tu ne vois pas comment, en écrivant que ta fonction est bornée sur le premier intervalle, puis qu'elle est bornée sur le deuxième, voir qu'elle est bornée globalement ? C'est un exercice pour élèves de première S débutants. Il n'y a pas de lien à faire, juste utiliser les inéquations.

Cordialement.

(*) "je ne vois pas du tout comment l'aborder et donc le faire" +"J'ai trouvé la 1, la 2 et la 4 "+"comment dois je m'y prendre pour justifier sur R+" !! Tu te contredis d'un message à l'autre !

[Jules7]

Merci, je voulais confirmation car mon professeur nous avez parlé d'une autre façon de le faire ....