Probabilités

[lepetitchimiste]

Bonjour à tous,

J'ai un contrôle de proba lundi prochain et je suis tombé sur cet exo sur lequel j'ai voulu m'entraîner, sauf qu'à un moment je suis bloqué...
Il y a 3 questions, la question 1) je pense avoir réussi, la question 2) je ne suis pas sûr de moi et elle est incomplète, et par contre la question 3) je suis complètement perdu et j'aurai besoin de quelques explications...

Voici l'exo : maths.PNG

Voici ce que j'ai fait :

maths2.jpg

Pour la question 2) j'ai répondu à la 2ème partie de la question (et je ne suis pas sûr d'avoir bon). Et je ne vois pas trop ce qu'il faut répondre de différent entre la 1ere et la 2eme partie de la question

Et pour la question 3) je ne sais pas du tout par où commencer, il me faudrait un petit éclaircissement...

Voilà, merci beaucoup d'avance pour votre aide !
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[JB2017]

Bonjour
Tes calculs sont bons.
Les évènements ne sont pas indépendants 2 à 2.
En fait p(B_i)=1/2. Intuitivement sans calcul c'est évident. En effet les boules blanches et noires
sont tirées aléatoirement avec la même règle.
Le piège c'est de dire que les sont indépendants.
Encore une fois tu l'as prouvé avec un calcul mais sans calculs si c'était le cas on aurait
p(B^n)=(1/2)^n c'est à dire quand n est grand il devient improbable d'avoir tirés uniquement des boules blanches.
Or c'est visiblement faux car il y a une chance sur d'avoir dans l'urne 3 boules blanches.

3)
donc
Ensuite (A_i et B^n)=(A_i et B_1) et (A_i et B_2) ......
et là on peut appliquer l'indépendance.
Tu peux finir le calcul. Normalement p(B^n) tend vers 1/8

[lepetitchimiste]

alors merci beaucoup de votre réponse,

j'ai compris vos explications, j'ai compris ce que signifiait B^n lorsque vous disiez B^n = (A_0 et B^n) U...U (A_3 et B^n)

et que donc ---> P(B^n) = P(A_0) * P_A0 (B^n) + .... + P(A_3) * P_A3 (B^n)

mais je ne vois pas du tout ce que vous voulez dire lorsque vous me dites d'appliquer l'indépendance (je sais ce que c'est et ce qu'elle signifie) et le rapport avec la question 3)

et pour info c'est un exo qui était sur notre feuille d'exos de TD, qu'on a pas fait en cours par manque de temps, le prof nous a dit que c'était un exo compliqué et qu'on ne tomberait pas sur un exo de ce type en devoir mais néanmoins j'aimerais le comprendre...

[JB2017]

Bonjour
D'abord je ne pense pas que c'est un exercice compliqué.
Mais c'est un exercice intéressant. En effet en général quand tu fais des tirages avec remises il n'y a pas de mémoire du résultat précédent "donc il y a indépendance".
Mais attention ici dire que et sont indépendants ça marche pas. C'est ça l'intérêt de l'exo.
Maintenant pour faire l'exercice, normalement tu ne dois pas avoir de problèmes si on applique correctement les règles.

Tu écris quelque chose que je n'ai pas dis et que je ne comprends pas

"et donc ---> P(B^n) = P(A_0) * P_A0 (B^n) + .... + P(A_3) * P_A3 (B^n)

Pour calculer P(B^n) il faut maintenant calculer P(A_i et B^n), i=0,...3
D'abord P(A_0 et B^n)=0 c'est évident (car si on a aucune boule blanche, on ne peut tire que des boules noires)

Calcul de
P(A_1 et B^n)


(A_1 et B^n)=(A_1 et B_1) et (A_1 et B_2) et .....(A_1 et B_n)


Mais ici les événements (A_1 et B_1) , (A_1 et B_2),..... sont indépendants ( ce n'est pas contradictoire avec la question 2).

D'où p(A_1 et B_n)=p(A_1 et B_1) * p(A_1 et B_2)* .....*(A_1 et B_n)

[A voir en vidéo sur Futura]

[lepetitchimiste]

alors merci pour votre persévérance à essayer de me faire comprendre l'exo,

ensuite si vous relisez ce que j'ai dit, je suis sûr que vous allez voir qu'on est d'accord et qu'on arrive exactement au même calcul :

P(B^n) = probabilité de (A_0) * B^n pour A_0 + probabilité de (A_1) * B^n pour A_1 + probabilité de (A_2) * B^n pour A_2 + probabilité de (A_3) * B^n pour A_3
Et bien sur : probabilité de B^n pour (A_1) = (A_1 et B_1) * (A_1 et B_2) * ...... * (A_1 et B_n) (comme vous l'avez dit)
même principe pour :
- B^n pour (A_2)
- B^n pour (A_3)
(B^n pour (A_0) = 0 comme vous l'avez dit aussi)


c'est bien ça ?

mais tout ça je vois pas en quoi ça m'aide à répondre à la question : lors des 3 premiers tirages on a tiré 3 boules blanches, quelle est la proba que l'urne soit remplie de 3 boules blanches ?

[JB2017]

Non je ne suis pas d'accord du tout avec ta façon de faire. En effet on a introduit
des évènements A_0,A_1,....., B_1,B_2,...B_n et puis B^n.
Donc dans toute explication (ou démo si on veut) , le principe est d'employer un vocabulaire, des notations que tout le monde comprend. En proba, les évènements sont des ensembles, il y a des opérations union (ou) , intersection (et) et puis on s'intéresse à leur proba.
Alors quand tu dis par exemple "B^n pour (A_2)" et bien je ne sais pas ce que cela veut dire.
Alors à ta question c'est bien ça et bien je ne peux pas répondre.

Maintenant pour la dernière question avec les notations on demande la probabilité
de l'évènement " sachant " i.e calculer

[lepetitchimiste]

ok merci, bon je vais essayer de faire ça demain matin et je posterai mon résultat, j'avais pas trop visualisé qu'on demandait de calculer A_3 sachant B_3
-> d'ailleurs on est d'accord qu'il faut plutot calculer A_3 sachant B^3 et non A_3 sachant B_3 ?

"Alors quand tu dis par exemple "B^n pour (A_2)" et bien je ne sais pas ce que cela veut dire" -> ça voulait dire "B^n sachant A_2", je sais que niveau syntaxe c'est pas terrible mais j'essayais de parler en francais et non en language mathématique

et ça ne veut tout autant rien dire que lorsque vous mettez "P(A_0 et B^n)"

[lepetitchimiste]

finalement j'ai fait le calcul ce soir, et voici ce que j'ai trouvé, est ce bien ça ?



si la validation de la pièce jointe met du temps, j'ai uploadé cette meme photo de ce que j'ai fait sur un site d'hébergement d'images -> https://image.noelshack.com/fichiers...9cbd8ded46.jpg

si le résultat est bon, j'ai néanmoins pas trop compris ce que venait faire la notion d'indépendance ici, et j'ai surement réussi l'exo sans en voir la subtilité...

[JB2017]

Oui c'est ça
Et finalement p(B^n) tu as trouvé combien?

[lepetitchimiste]

et bien là je bloque car je ne vois pas comment on peut calculer P(B^n)

pour moi : P(B^n) = P(A_0) * P_A0 (B_1) * P_A0(B_2) * .... * P_A0(B_n) + ........ + P(A_3) * P_A3 (B_1) * P_A3(B_2) * .... * P_A3(B_n)
et je ne vois pas comment on peut le développer pour trouver un meilleur résultat

un indice ?

[JB2017]

P(A_i et B^n) = P(A_i) P(B^n|A_i)=p(A_i) P(B_1|A_i)....=p(A_i) P(B_1|A_i)^n

d'où p(B^n)=3/8 (1/3)^n+3/8 (2/3) n+ 1/8.

La limite est 1/8.

[ansset]

à quoi correspond l'évènement T.
en fait tu as déjà fait les calculs suffisants dans ton post #8 pour en tirer P(B³).
pour la question 3.
la demande est bien de calculer P(A₃|B³)

[lepetitchimiste]

à quoi correspond l'évènement T.
en fait tu as déjà fait les calculs suffisants dans ton post #8 pour en tirer P(B³).
pour la question 3.
la demande est bien de calculer P(A₃|B³)

T = B^3

donc 0.5 correspond à P(A3|B3)

[lepetitchimiste]

P(A_i et B^n) = P(A_i) P(B^n|A_i)=p(A_i) P(B_1|A_i)....=p(A_i) P(B_1|A_i)^n

d'où p(B^n)=3/8 (1/3)^n+3/8 (2/3) n+ 1/8.

La limite est 1/8.

ok super merci bcp j'ai compris

et quand j'écrivais "P_A0(B_2)" ça correspondait à "P(B_2 | A_0)", je sais pas si vous aviez compris

[ansset]

T=B³, certes, mais donc P(B³)=?
ensuite je ne comprend pas ton 1/2. d'ou sort-il ?
pour la proba de fin, il peut être utile d'utiliser l'autre formule ( qui utilise la symétrie ), à savoir

sachant qu'ici ! P(B³|A₃) est évident.

[lepetitchimiste]

T=B³, certes, mais donc P(B³)=?
ensuite je ne comprend pas ton 1/2. d'ou sort-il ?
pour la proba de fin, il peut être utile d'utiliser l'autre formule ( qui utilise la symétrie ), à savoir

sachant qu'ici ! P(B³|A₃) est évident.

P(B^3) = P(B_1)^3

comment ça d'où sort 1/2 ? sur l'image tout mon calcul est détaillé

et pour la proba de fin c'est exactement cette formule que j'ai utilisée, et oui P(B3|A3) est évident puisqu'il n'y a que des boules blanches

[JB2017]

Bonjour
@Anset
Ce que @lepetitchimiste a utilisé pour trouver 1/2 c'est exactement la formule que tu as écris!

Bien entendu, l'écriture du calcul littéral est un peu absente et l'emploi de la notation T au lieu de B^3
n'est pas très heureuse.
De plus, en toute logique il aurait dû calculer P(B^n) à la question d'avant et remplacer directement au dénominateur P(B^3) par sa valeur.
Tout ça est un peu trompeur mais c'est correct.
Pour finir si il y a une chose à dire c'est d'être clair dans la rédaction.

[lepetitchimiste]

Bonjour
@Anset
Ce que @lepetitchimiste a utilisé pour trouver 1/2 c'est exactement la formule que tu as écris!

Bien entendu, l'écriture du calcul littéral est un peu absente et l'emploi de la notation T au lieu de B^3
n'est pas très heureuse.
De plus, en toute logique il aurait dû calculer P(B^n) à la question d'avant et remplacer directement au dénominateur P(B^3) par sa valeur.
Tout ça est un peu trompeur mais c'est correct.
Pour finir si il y a une chose à dire c'est d'être clair dans la rédaction.

exact pour la syntaxe

et maintenant que j'ai la formule P(B^n) je n'ai plus besoin de faire ce long calcul pour trouver P(B^3)

merci bcp pour vos aides j'ai tout compris maintenant !

[ansset]

P(B^3) = P(B_1)^3

comment ça d'où sort 1/2 ? sur l'image tout mon calcul est détaillé

ben non pour P(B³). car il n'y a pas indépendance.
j'obtiens :
P(B³)=P(A₀)P(B³|A₀)+P(A₁)P(B³|A₁)+P(A₂)P(B³|A₂)+P(A₃)P(B³|A₃)
P(B³)=(1/8)*0+(3/8)*(1/27)+(3/8)*(8/27)+(1/8)*1
P(B³)=1/4 et non 1/2.
ensuite si je reprend mon expression.

P(B³|A₃)=1
P(A₃)=1/8
P(B³)=1/4
On retrouve 1/2 à la fin pour la dernière question.

[ansset]

donc ta dernière formule est bonne car on a bien P(T)=P(B³) au dénominateur.
mais pour autant tu écris P(B³)=P(B₁)^3 qui est faux ????

[ansset]

Bonjour
@Anset
Ce que @lepetitchimiste a utilisé pour trouver 1/2 c'est exactement la formule que tu as écris!

Bien entendu, l'écriture du calcul littéral est un peu absente et l'emploi de la notation T au lieu de B^3
n'est pas très heureuse.
De plus, en toute logique il aurait dû calculer P(B^n) à la question d'avant et remplacer directement au dénominateur P(B^3) par sa valeur.
Tout ça est un peu trompeur mais c'est correct.
Pour finir si il y a une chose à dire c'est d'être clair dans la rédaction.

mess croisés, j'ai mis du temps à écrire le mien, car pb latex.

[lepetitchimiste]

donc ta dernière formule est bonne car on a bien P(T)=P(B³) au dénominateur.
mais pour autant tu écris P(B³)=P(B₁)^3 qui est faux ????

oui c'est totalement faux

[lepetitchimiste]

ben non pour P(B³). car il n'y a pas indépendance.
j'obtiens :
P(B³)=P(A₀)P(B³|A₀)+P(A₁)P(B³|A₁)+P(A₂)P(B³|A₂)+P(A₃)P(B³|A₃)
P(B³)=(1/8)*0+(3/8)*(1/27)+(3/8)*(8/27)+(1/8)*1
P(B³)=1/4 et non 1/2.
ensuite si je reprend mon expression.

P(B³|A₃)=1
P(A₃)=1/8
P(B³)=1/4
On retrouve 1/2 à la fin pour la dernière question.

c'est ça !

[ansset]

nous sommes donc d'accord.
il y avait une boulette d'écriture, et evt une rédaction qui pouvait être plus claire.( sur la forme )