Fourier de cosinus et sinus

[JulesMhz]

Bonjour,

J'ai un exercice de mathématiques sur les séries de Fourier pour lequel j'ai du mal à trouver l'angle par lequel l'attaquer.

J'ai une fonction f 2PI periodique définie par :
- f(t) = cos(t) pour -PI<=t<0
- f(t) = sin(t) pour 0<=t<PI

J'ai essayé de partir sur le principe que le cos est paire donc de calculer les An entre -PI et 0, et que le sin est impaire et calculer les Bn entre 0 et PI, puis d'additionner les deux.

Bon à priori c'est pas du tout la bonne méthode puisque la fonction est ni paire ni impaire ?

Bref je tourne en rond et ai besoin de votre aide pour partir du bon pied sur cet exercice...

Je vous remercie par avance pour les indiquations que vous voudrez bien me donner
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[gg0]

Bonjour.

Ce n'est évidemment pas la bonne méthode, tu as une seule fonction (donnée suivant les valeurs de x par deux calculs distincts).
Pourquoi perdre ton temps alors que tu as la méthode de ton cours pour calculer les coefficients. Il peut être utile de représenter cette fonction sur 2 ou 3 périodes pour bien voir. Mais déterminer les coefficients est une simple question de calculs. Fais ces calculs !

Cordialement.

NB : Tu pourras éventuellement regarder tes cours pour savoir quel est le lien entre la série trigonométrique trouvée (la "série de Fourier de f") et la fonction f elle-même.

[JulesMhz]

Bonjour gg,

Merci pour ta réponse.

J'ai repris mon cours, j'ai fais mes calculs. Je ne vois pas la parité de la fonction (ni paire ni impaire), du coup j'ai calculé les An et les Bn pour la fonction, et j'obtiens comme coefficient :
- An : ( 1 - (-1)⁽ⁿ⁺¹⁾ ) / ( PI * (n²-1) )
- Bn : ( (-1)⁽ⁿ⁺¹⁾ - 1 ) / ( PI * (1-n²) )

Est-ce que j'ai pris la bonne direction où est-ce faux ?

Merci.

[gg0]

Je ne trouve pas cela :
Si les An sont bien les coefficients des cos(nt), il y a une erreur de signe, et les Bn sont faux. Il manque aussi A0.
Pour An, mon logiciel de calcul donne ( - 1 - (-1)⁽ⁿ⁺¹⁾ ) / ( PI * (n²-1) ), et pour les Bn il y a des n au numérateur.

Sinon, calculer avec les formules est le travail à faire. ici, il peut être utile de regarder ce que ça donne pour n=1, 2, 3, 4, 5.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[JulesMhz]

Bonsoir,

En refaisant mes calculs, je tombe sur :

- An : ( - 1 + (-1)(n+1) ) / ( PI * (n²-1) )
- Bn : ( n * (-1 + (-1)(n+1) ) ) / ( PI * (n²-1) )

Donc j'ai toujours un signe qui n'est pas correct pour An, mais là je ne vois vraiment pas où je me trompe...

[gg0]

Une primitive de sin(t)cos(nt) pour n différent de 1 est


Sinon, ton calcul n'ayant aucun sens pour n=1, il faudra regarder de près ce cas particulier.

[JulesMhz]

Bonjour,

A priori c'est ce que j'utilise, voici le détail de mon calcul pour An en pièce jointe.

De plus, pour a0 je trouve 1/PI.

Merci pour votre aide.

[gg0]

En attendant de pouvoir lire ton document ("en attente de validation"), je te rappelle que pour t=0, -(cos((n+1)t) ça fait -1.

[gg0]

Ton calcul est bon, j'ai dû à un moment mal lire ce que disait mon logiciel (ça vient de m'arriver, j'ai cherché pendant 10 mn une erreur qui n'y était pas ).
Deux remarques :
* tu calcules sans précautions, ce que tu as écrit nécessite que n soit différent de 1
* tu t'es compliqué la vie, à la ligne 4 on voit qu'on peut mettre ensembles les termes avec (-1)ⁿ⁺¹ et faire apparaître une belle factorisation qui rend la suite du calcul bien plus facile :


Cordialement.

[JulesMhz]

Merci gg pour tes précisions,

J'ai pu finir mon exercice sans problème !