Équation engageant x, lnx et (lnx)^2 --> W de Lambert ?

[Solar8]

Bonjour,

Dans le cadre de la modélisation d'un composant en physique, j'aurais besoin de connaître la solution d'une équation faisant intervenir une quantité ainsi que son logarithme népérien., mais aussi le carré de ce logarithme népérien !

Grâce à la fonction W de Lambert, il est aisé de résoudre l'équation suivante :

dont la solution est :

où W est la fonction W de Lambert.

Or donc, l'équation dont je cherche à trouver la solution fait intervenir le carré du logarithme népérien :


D'un point de vue physique, il semble exister une solution, comme le montrent les simulations. Mettre l'équation dans un logiciel de calcul numérique devrait sûrement livrer la même conclusion.

Mais existe-t-il une solution analytique connue à cette équation ? Une utilisation plus sportive de la fonction W de Lambert ? J'ai essayé - modestement - de la triturer, mais jusqu'ici la recherche de cette solution a buté sur mes compétences en la matière quelque peu limitées.

Merci d'avance pour vos lumières !
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[Solar8]

Aucune bonne âme ne s'est donc frottée à cette équation ?

[eudea-panjclinne]

Votre équation est appelée équation transcendante ce qui signifie qu'on ne sait pas exprimer ses solutions au moyen d'une expression algébrique finie et de fonctions élémentaires. On appelle fonctions élémentaires les fonctions logarithmes et exponentielles dont les arguments sont réelles ou complexes.
En général, c'est assez difficile à prouver et fait intervenir des notions, entre autre, de corps différentiels.
Au sujet de la fonction de Lambert W, dont vous parler au-dessus, on peut prouver qu'elle est transcendante. Il est de fait, que beaucoup de sites se contentent de dire, sans preuve que la fonction de Lambert est transcendante et ne peut pas s'exprimer algébriquement à l'aide des fonctions élémentaires.
Voici un document qui prouve cette affirmation:
http://www.cecm.sfu.ca/personal/pbor...7/ITSF2006.pdf

[Solar8]

Merci pour cette réponse.
Je comprends que l'on ne peut pas trouver de solution à une telle équation car elle est transcendante, ce qui est également le cas de la fonction W de Lambert.
La fonction W de Lambert est certes transcendante, mais on sait trouver une solution "numérique". Par analogie, dans le cas discuté ici, n'y a-t-il aucun espoir de pouvoir exprimer l'équation du premier message en fonction d'une "fonction W de Lambert bis" ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[eudea-panjclinne]

n'y a-t-il aucun espoir de pouvoir exprimer l'équation du premier message en fonction d'une "fonction W de Lambert bis" ?

Bonne question. La réponse est simplement oui. Mais c'est moins simple que pour la fonction de Lambert. Considérons l'équation

elle peut être résolue en considérant la fonction

,
où k est une constante arbitraire.

L'équation ci-dessus pourra alors être résolue par ses deux branches réciproques :