Développement de Taylor et "petit o"

[SqrtNomis]

Bonjour,

Je suis étudiant en 1ère année de mathématiques et à l'approche des examens, j'essaye d'effectuer le plus d'exercices possible ! Cependant, je suis tombé cette fois-ci sur un os...

Voici l'énoncé :

Soit tq . Calculez le développement de Taylor d'ordre 4 en avec un reste exprimé en terme de petit o de la fonction définie par : .

J'ai malheureusement une assez faible maîtrise de cette notion de petit o, ce qui rend la suite de l'exercice plus complexe pour moi.

Très naturellement, je développe :

Jusqu'ici, c'est classique, mais cela commence à me poser problème dès le calcul de [tex]\: g\left( 0 \right) \:[\tex] et ses dérivées :

???

Je n'ai aucune idée de la manière dont je devrais manipuler ce petit o ...

Merci d'avance pour vos réponses !
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[JB2017]

Bonjour
Une petite question tout de même que signifie f(x)=o(x^4) (au voisinage de 0)?

[gg0]

Bonjour.

Question préliminaire : C'est un DL à l'ordre 4 en ? Ou en
Dans le premier cas, on ne peut rien faire puisqu'on ne sait rien sur ce qui se passe pour f au voisinage de 4, même pas sa valeur.

Je vais donc supposer que c'est un DL de g au voisinage de 0 qui est demandé.
Dans un premier temps, avec les règles du cours sur les calculs avec les DL, il est facile d'obtenir un DL de (f(x))² au voisinage de 0 (produit de DL). A toi de le faire.
Puis, avec la règle sur la composition des DL, on peut en obtenir l'exponentielle. Mais comme f(x) tend vers 1 en 0, on va avoir besoin d'un DL en 1 de l'exponentielle. Il est préférable d'utiliser les propriétés de l'exponentielle et de poser (f(x))²=1+h(x) et on connaît déjà le DL d'ordre 4 de h(x). De plus h(x) tend vers 0 quand x tend vers 0 ( ), ce qui permettra d'utiliser le DL en 0 de que tu connais. On écrira

A toi de faire, et si tu bloques sur une étape, de présenter tes résultats pour te faire aider pour la suite.

Cordialement.

NB : Révise bien tes cours, y compris sur les relations d'équivalence et de domination.
NBB : Ce n'est pas un exercice pour débutant sur les DL, j'espère que tu en as fait d'autres pour trouver des DL élémentaires, du genre les DL en 0 de sin²(x) cos(x), tan²(x), exp(1+x²) ou exp(sin(x)). Si tu n'as jamais fait ça, commence par là.