Calcul approché de valeurs du logarithme népérien

**mehdi_128** · 16/04/2019, 16h27

Bonjour,

Je bloque sur la question XVII... Ce que j'ai fait :

1.jpg

2.jpg

serie.png

**Tryss2** · 16/04/2019, 17h33

Que vaut

$\text{[math]}$

**ansset** · 16/04/2019, 18h00

les questions XV et XVI impliquent que la norme de l'intégrale est majorée par un terme qui tend vers 0 pour -1<x<=1
les deux cas sont traités séparément.
et la formule de la XIV te donne donc la convergence dans ce cas.

**mehdi_128** · 16/04/2019, 18h35

$\text{[math]}$

Si $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$

Je ne vois pas quoi en faire

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Tryss2** · 16/04/2019, 19h51

Et tu ne peux pas calculer la limite de cette quantité quand n tend vers +oo si x<=1 ?

**mehdi_128** · 16/04/2019, 20h30

$\text{[math]}$ cette quantité tend vers 0 lorsque n tend vers $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ cette quantité tend vers 0 lorsque n tend vers $\text{[math]}$ aussi car $\text{[math]}$

Du coup la série converge vers $\text{[math]}$ mais j'ai calculer directement la limite alors qu'il fallait déjà montrer que la série convergeait.

Quelle argument était attendue pour la convergence de la série

Merlin95 · 16/04/2019, 20h35

Plus précisément $\text{[math]}$ cette quantité tend vers 0 lorsque n tend vers $\text{[math]}$

**mehdi_128** · 16/04/2019, 20h51

Pourquoi l'énoncé demande pour $\text{[math]}$ ouvert en -1 ?

Sinon j'ai compris comment calculer la somme infinie mais je n'ai pas compris comment justifier la convergence de la série

Quel théorème faut-il utiliser ?

Merlin95 · 16/04/2019, 21h18

parceque ln(1+x) n'est pas définie en x=-1, mais je n'avais pas vu, tu peux utiliser effectivement l'intervalle ouvert à gauche.

Merlin95 · 16/04/2019, 21h21

Annulé.....

**ansset** · 16/04/2019, 21h46

Edit, je confond tj ma gauche et ma droite ( pour tout ) depuis tout chti !!
ça a des avantages mais ça pose parfois des pb.

ceci dit, l'intervalle doit être ouvert à gauche...

**mehdi_128** · 17/04/2019, 02h54

Je n'ai toujours pas compris comment montrer que la série était convergente. J'ai relu mon cours sur les séries mais je ne vois pas.

Merlin95 · 17/04/2019, 03h08

Elle est majoré en valeur absolue par 1/(n+1) qui tend vers 0 quand n tend vers l'infini donc elle est convergente.

**mehdi_128** · 17/04/2019, 08h38

Oui mais la suite de sommes partielles majorée qui converge ça ne marche que pour les séries à termes positifs.

Puis ici j'ai $\text{[math]}$

Je ne vois toujours pas quel est l'argument pour justifier la convergence.

**Tryss2** · 17/04/2019, 09h17

Par définition, on dit qu'une série converge si la suite de ses sommes partielles converge.

Et ici, il n'est pas bien difficile, en partant de cette expression, de montrer que la suite des sommes partielles converge vers ln(1+x).

**phys4** · 17/04/2019, 09h28

Envoyé par mehdi_128

Je ne vois toujours pas quel est l'argument pour justifier la convergence.

Pour une série alternée, il suffit que la valeur absolue du terme général tende vers zéro.
Donc ily a convergence de la série en x = 1, mais pas en x = -1

**mehdi_128** · 17/04/2019, 10h22

Merci pour vos réponses.

Pour $\text{[math]}$ on a : $\text{[math]}$

D'après le théorème des gendarmes : $\text{[math]}$ il y a bien convergence de la série.

Pour $\text{[math]}$ on a : $\text{[math]}$

D'après le théorème des gendarmes : $\text{[math]}$ il y a bien convergence de la série.

Pour la question XVIII, comment justifier la divergence pour $\text{[math]}$ ?

**phys4** · 17/04/2019, 10h30

Envoyé par mehdi_128

Pour la question XVIII, comment justifier la divergence pour $\text{[math]}$ ?

Le terme général de la série ne tend plus vers zéro, la puissance de x l'emporte sur le dénominateur, donc convergence impossible.

**mehdi_128** · 17/04/2019, 11h00

Une condition suffisante pour la convergence d'une série est que son terme général tende vers 0. Par contraposée, il faut montrer que :

Pour $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$

Je ne sais pas comment calculer cette limite

Le $\text{[math]}$ me gêne dans le calcule de la limite.

**Tryss2** · 17/04/2019, 11h39

Quelle est la limite de $\text{[math]}$ ?

**mehdi_128** · 17/04/2019, 12h10

$\text{[math]}$

Pour $\text{[math]}$ on a : $\text{[math]}$

J'ai une forme indéterminée + l'infini divisé par + l'infini

**mehdi_128** · 17/04/2019, 12h42

Ah c'est trivial en fait, c'est juste une croissance comparée :

On sait que : $\text{[math]}$

Ici on a : $\text{[math]}$ car $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Par croissances comparées : $\text{[math]}$

Enfin : $\text{[math]}$ donc la série diverge.

**ansset** · 17/04/2019, 13h49

Envoyé par mehdi_128

Enfin : $\text{[math]}$ donc la série diverge.

pas très joli comme expression, ni donc propre la justification.
d'autant qu'il s'agit de n->+l'inf, ( pour tout x >1 )

**mehdi_128** · 17/04/2019, 15h34

Ansset, je corrige mon erreur de frappe. J'ai suivi la méthode de Tryss en prenant la valeur absolue :

Comme $\text{[math]}$ , en posant $\text{[math]}$ par croissances comparées :

$\text{[math]}$

Merlin95 · 17/04/2019, 19h53

Envoyé par mehdi_128

Une condition suffisante pour la convergence d'une série est que son terme général tende vers 0. Par contraposée, il faut montrer que :

Pour $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$

Attention, ici la contraposée de "le terme général tend vers 0 implique la série converge" est "la série diverge implique le terme général tend vers 0".

Mais il est faux de dire que "le terme général tend vers 0 implique la série converge" prendre par exemple la suite de terme général 1/n.

Ici c'est plutôt une condition nécessaire, ic "la série converge implique que le terme général de la suite tend vers 0".
Et la contraposée est "le terme général ne tend pas vers 0 implique la suite diverse.".
ici le terme général tend vers 0 implique la valeur absolue du terme général tend vers 0.
ici | (-1)^n x^(n+1)/n+1)| = |x|^(n+1)/(n+1) qui tend vers l'infini lorsque n tend vers l'infini si |x| > 1

**mehdi_128** · 17/04/2019, 20h19

Ah bien vu Merlin pour le "ici le terme général tend vers 0 implique la valeur absolue du terme général tend vers 0." Il y a même équivalence.

Je me suis compliqué la vie pour rien car je n'ai pas pensé à ce résultat.

Merlin95 · 17/04/2019, 20h33

....

**mehdi_128** · 17/04/2019, 21h19

Je bloque sur la question XIX, j'ai jamais vu ça dans mon cours :

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**Tryss2** · 18/04/2019, 10h31

Et si pour les deux premières tu remarques que $\text{[math]}$ ?

**gg0** · 18/04/2019, 12h25

Mehdi :

j'ai jamais vu ça dans mon cours

Mais tu as un cerveau, et éventuellement une calculatrice. C'est une application immédiate de ce que tu as fait avant, ne le vois-tu pas ?

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