Espace vectoriels avec des fonctions

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Bonjour,
Actuellement en classe de prépa PTSI, mon professeur de mathématiques m'a demandé de résoudre cet exercice :

Soient a et b 2 nombres réels tels que a<b. Soit C l'ensemble des fonctions constantes de [a;b] dans R. Soit H={f [smb]appartient[/smb] C([a;b];R), l'intégrale de a à b de f(t) dt =0}


1. Montrer que C est un sous-espace vectoriel de C([a;b];R) de dimension finie, on en donnera une base et une dimension.

J'ai réussi à montrer que C est un sous-espace vectoriel en montrant que la fonction nulle appartient bien à C et en montrant la stabilité des lois par combinaison linéaire.

En revanche je n'ai aucune idée pour démontrer la dimension finie ainsi que d'en déterminer une en plus d'une base.


2. Montrer que H est un sous espace vectoriel de C([a;b];R)


J'ai procédé par la même méthode que le début de la question 1 en utilisant la linéarité de l'intégrale.


3. Montrer que C([a;b];R)= somme directe de C et de H


Cela revient à dire que C et H sont supplémentaires et tout d'abord de montrer que C inter H est nul mais je ne vois pas comment procéder pour conclure.


Je vous remercie d'avance pour votre réponse et votre aide
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[gg0]

Bonjour.

1) Deux constantes sont toujours proportionnelles, tu en déduis immédiatement que deux fonctions constantes sont linéairement dépendantes.
3) Si une fonction est constante sur [a,b], tu sais l'intégrer. Si l'intégrale vaut 0 ...
Ensuite, pour une fonction f de C([a;b];R), que se passe-t-il si tu lui soustrais sont intégrale (la fonction constante égale au résultat de l'intégrale) ?

Cordialement.

NB : Tu as les bonnes idées, il faut simplement aller au bout.