Question sur réseau cubique à faces centrées

[danjotg]

Bonjour à tous.

Excusez moi pour cette intrusion car je ne savais pas ou poster ma question.
Je cherche à simuler en 3D avec Blender un mouvement relatif de sphères identiques dans un réseau cubique à faces centrées. Avant de m'y coller, j'ai mené une recherche pour savoir si des mathématiciens avaient déjà mené une étude sur le sujet et je n'ai absolument rien trouvé.
Pour être précis, ma question serait:
Dans un réseau cubique de sphères à faces centrées infini, quel est le mouvement relatif possible des sphères entre elles permettant de maintenir la densité de sphères égale à la conjecture de Kepler ?

Si une étude sur ce sujet précis existait, ce serait très sympa de m'orienter.

Je vous remercie d'avance.
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[Resartus]

Bonjour,
Sous réserve que j'ai bien compris la question, le système CFC est le plus compact possible, et c'est un optimum local, c'est à dire que, par exemple, pour passer à d'autres systéme de compacité égale (comme l'Hexagonal compact), on est obligé de passer par des configurations de compacité inférieure.

Donc les seules modifications possibles qui préservent la compacité maximale seront les translations et rotations solides de l'ensemble du réseau
(rotations seulement, si on impose qu'un des atomes soit fixe)

[danjotg]

Merci pour ta réponse.

Non, ce n'est pas ce que je recherche. C'est plus fondamental que ces études sur les atomes ou les cristaux. J'ai déjà bien étudié cet empilement et pour moi, le CFC ou l'hexagonal compacte sont rigoureusement le même empilement car on ne considère que des sphères différentes dans chacun des cas.

Je recherche un mouvement cyclique qui modifierait la position des sphères entre elles par passages successifs par états CFC pour revenir à l'état CFC originel.
Je penses qu'aucun mathématiciens ne s'est jamais posé la question.

Tant pis. Va falloir que je m'y colle à ma façon.

[invite23cdddab]

C'est à dire que dans un réseau CFC, les sphères ne peuvent pas bouger sans intersecter leurs voisines. Du coup, je dois louper un truc

[A voir en vidéo sur Futura]

[danjotg]

Merci de t'intéresser Triss2. Non, mon problème est de les faire bouger au plus serré sans qu'il y ait intersection. Et ceci, chacune sur des trajectoires semblables dans un mouvement régulier.

[Resartus]

Bonsoir,
Comme déjà répondu, si les sphéres sont incompressibles et qu'on veut garder une compacité constante et égale au maximum, cela impose la distance entre les sphères, et l'assemblage sera rigide. On peut s'en convaincre en plaçant la seconde et la troisiéme au contact de la première, puis
la quatrième au dessus ce plan, la position des suivantes est alors imposée avec comme seule marge de manoeuvre le choix de la position relative des sphères de chaque plan (dans le jargon cristallographique, choix ABCABC pour CFC , ABAB pour HC, ou toute autre variante moins régulière),

Mais il n'y aura pas possibilité de déplacement continu entre ces variantes sans augmenter les distances, et les seuls mouvements possibles seront des déplacements solides de l'ensemble du cristal

Si on peut accepter une certaine compressibilité des sphères, il y aura plus de marges de manoeuvre : par exemple, par des clivages le long d'un des plans réticulaires, on pourrait sauter d'une des structures de compacité maximale à une autre, en jouant sur cette élasticité

[danjotg]

Bonjour.

Je comprends bien ton point de vue Resartus, mais il y a forcément une solution même si dans le temps du mouvement on s'éloigne un peu de la compacité max. Les sphères ne font pas n'importe quoi. Mécaniquement, si les sphères sont rigides, il ne doit y avoir qu'un seul mouvement possible de l'ensemble de l'empilement. Pour prendre une question encore plus simple, "dans un empilement CFC infini de sphères rigides, imaginons qu'une seule et unique sphère soit en mouvement rectiligne. Quel sera le mouvement des autres autres sphères sur son chemin ?"

[Resartus]

Bonjour,
Ok, j'avais cru à tort que tu excluais les mouvements d'ensemble.
Les mouvements autorisés sont en effet les mouvements de tout le réseau considéré comme un solide indéformable, c'est à dire :
les translations (tous les centres des sphères se déplacent de la même quantité au même moment) cette translation peut être codée par trois nombres
les rotations/pivotement du réseau autour d'un point fixe. Ce déplacement est également codé par trois angles. Il y a plusieurs possibilités
celle des angles d'euler est souvent utilisée.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Angles_d%27Euler
Ensuite, la position de chaque sphère après le mouvement se déduit par de simples formules trigonométriques

et les combinaisons de ces deux mouvements.

Il existe pas mal de logiciels qui font cela directement, mais si tu veux écrire toi même les transformations, ce site peut t'aider
http://mecaspa.cannes-aero-patrimoin...ULER/euler.htm
(le début, car cela se complique à la fin)

[Resartus]

RE,

Finalement, toujours pas sûr d'avoir compris ta question...

S'il s'agit de voir comment une sphère qui est délogée de sa position d'équilibre peut se frayer un passage à travers le réseau des autres en les écartant un peu, l'exercice devient plus compliqué :
Il faut d'abord définir une fonction "d'énergie potentielle" qui est en gros la somme des carrés de l'écart à la distance optimale pour chaque paire de sphéres voisines
Ensuite il faut trouver pour chaque position hors équilibre de la sphère perturbatrice quelle est la position des autres sphéres qui minimise cette fonction d'énergie. Il faudra imposer des conditions aux limites, par exemple, que les sphéres à plus de 10 rayons de la sphére perturbatrice restent fixes (car en l'absence de cette condiition aux limites, on retrouverait le résutat évident que toutes les sphères bougent en même temps).

Cette optimisation peut se faire par ordinateur, Les logiciels de modélisation par éléments finis font cela , mais je ne sais pas s'il en existe des gratuits de bonne qualité

[danjotg]

Superbe ! Merci pour tout Resartus. Je vais voir comment je peux concrétiser mon idée avec tout ça.

Je te souhaite le meilleur.

[danjotg]

Après avoir fouillé un peu, il y a déjà tous les outils dans Blender pour modéliser le mouvement que je cherche. Donc, plus de problème. Merci encore.