Bonjour
Dans ce corrigé tout a la fin on décrit les idéaux a gauche dans l'esemble des matrices carrées Mn(R)
pour n = 3 on cite les des idéaux bilateres 0 et M_3
quels sont les deux autres idéaux a gauche (pour n = 3) correspondant aux dimensions 1 et 2 pour E?
Merci
je ne comprends pas bien ta question, pusique le corrigé donne précisément une caractérisation des idéaux à gauche. Si tu veux un exemple simple, considère l'ensemble des matrices dont la première colonne est nulle. C'est un idéal à gauche. Si c'est la deuxième colonne qui est nulle tu as un autre idéal à gauche, etc.
je t'accorde volontiers que le pb est a ras du sol
mais dans l'autre sens, quand je considere une famille de matrices telles que
a a a
b b b
c c c
qui forment visiblement un idéal par multiplication a gauche par M quelconque comment trouver le E correspondant?
meme question en dimension n x n ?
Ta matrice A est de rang 1. Son noyau (le noyau de l'homomorphisme qu'elle représente dans la base canonique) est l'ensemble des triples (x,y,z) tels que x+y+z=0. C'est un sous-espace vectoriel E de dimension 2 (un hyperplan). L'idéal à gauche engendré par A est l'ensemble des matrices dont le noyau contient E, puisque si u est dans E on a Au=0 et donc BAu=0 quel que soit B, donc u est dans le noyau de BA.
E est donc l'intersection de tous ces noyaux. qu'en déduire sur la dimension de cette intersection?
au départ on savait simplement que cette dimension était égale a 2 au maximum.
à nouveau je ne comprends pas ce que tu veux dire. Toutes les matrices de la forme que tu as donnée appartiennent au même idéal. Si tu multiplies à gauche par la matrice diagonale de diagonale (1/a,1/b,1/c) tu obtiens la matrice qui n'a que des 1. Et ensuite en la multipliant à gauche par diag(a',b',c') tu obtiens une autre matrice de la même forme que la matrice initiale. Elles ont toutes le même noyau.
merci de m'avoir aussi patiemment répondu Minushabens.
tu as dû remarquer que j'ai parlé de 1/a,1/b et 1/c sans me soucier du fait que a,b ou c pouvaient être nuls. Donc pour finir: cet idéal principal est engendré par l'une quelconque des matrices de la forme que tu as donnée, telle que abc != 0.
