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splines cubiques



  1. #1
    trinity9

    bonjour, j'ai de gros gros problèmes au sujet de cet exo, et j'ai déjà du mal à comprendre l'énoncé. donc si vous pouviez m'expliquer en gros les notations ( car j'ai du mal) et me guider en m'indiquant par où commencer pour chaque question, ce serait tres gentil et ça me serait d'un grand secours.
    la seule qui me dit qqch c'est la question 2. j'intuite que la dimension est 4 mais je ne sais pas comment le démontrer
    voici'énoncé




    merci de m'aider

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    trinity9

    bon, les images ne passent pas. elles doivent ê trop grosses, et je ne peux les réduire plus. j'ai essayé de retranscrire ici le début de l'énoncé, j'espere que vous arriverez à me lire, car les notations ne sont pas simples !
    si qqn veut bien m'aider, je lui enverrai le sujet scanné par mail. sion, pour ls autres, voici :


    soient a et b deux rels, a <b
    soit sigma= a(i), i compris entre 0 et n (le i est un indice) , une subdivision du segment [a,b] de pas h=(b-a)/n.
    bon alors là ça se complique pour les notations. le sigma est en exposant du R et le 3 en indice. (je n'écrirai par le sigma par la suite, mais il est en exposant du R)
    notons R3[x] le R espace vectoriel des applications C1 ([a,b],R) dont la restriction à tout intervalle de la subdivision sigma est polynomiale de degré inférieur ou égal à 3.



    voici maintenant les questions :
    1)soient p=p(i), i compris entre 0 et n et v=v(i), i compris entre 0 et n deux familles de reels.
    montrer qu'l existe une unique application g de R3[x] telle que g(ai)=p(i) et g'(ai)=v(i) pour tout entier i dans [0,n].
    là je ne sais pas du tout comment m'y prendre car je ne cmprends pas le sens de la questions.

    2) quelle ets la dimension de R3[x]. intuitivement je dirai que c'est 4 mais je ne sais pas comment le démontrer.

  4. #3
    folky

    oulala j'ai du mal a comprendre

    Je vais essayé de te reformulé le probleme sans dire de bêtise.

    En gros au départ tu te fixes deux suites de réels, et ensuite on te demande de prouver l'existence et l'unicité d'une application dérivable, qui à chaque subdivision fait correspondre une valeur de la suite pi et de meme pour la dérivée et la suite vi.

    Bon l'unicité (toujours en plus simple en général)
    Tu prends deux applications g1 et g2 qui vérifient ce qui est donné et tu vérifie qu'au final g1=g2 et ça donne l'unicité.

    Pour l'existence je vois pas trop encore comment faire ^^

    Pour la question 2 ça sera au minimum 4 puisque la resctriction de l'espace sur les subdivisions donne des polynomes de degrés 3 et que l'espace des polynomes de degrés 3 est de dim 4.

    Sinon je veux bien que tu m'envois les scans je pourrais peut etre t'aider plus

  5. #4
    Marc

    Pour la question 1 :
    A mon avis, à mon avis il faut compter le nombre d'inconnues et le nombre d'équations.

    Pour le nombre d'inconnues : il y a n subdivisions, et sur chaque subdivision, g(x) vaut un polynome de degré 3 donc comporte 4 coefficients.
    => il y a 4n inconnues

    Pour le nombre d'équations :
    - tu as 2n équations car tu connais les valeurs g(ai) et g'(ai)
    - et en utilisant le fait que g doit être C1, ça donne n équations pour la continuité de g aux ai et encore n équations pour la continuité de g' aux ai.
    => on obtient bien 4n équations

    Voilà, bien sûr il faut rédiger. Notemment il faut que tu écrives les équations pour montrer que le système a bien une unique solution (j'espère que ça se fait bien ...)

    Marc

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Marc

    Pour la question 2 :
    On vient de montrer qu'il y a une bijection entre {p(i)}x{v(i)} et R3[X].
    Donc ces espaces ont même dimension. Or la dimension de {p(i)}x{v(i)} est 2n, donc la dimension de R3[X] est 2n, non ?

    Marc

    PS : je ne sais pas d'où tu sors la dimension 4 ??? Je crois que tu confonds cet espace R3[X] avec l'espace habituel des polynomes de degré inférieurs à 3 (qui lui est bien de dim 4) ...

  8. #6
    trinity9

    réponse à marc :
    je n'arrive pas bien à voir les 4n équations je n'en vois que 2n. car moi pour moi les équation g(ai)=pi utilisent déjà la continuité de g et les équations g'(ai)=vi utlisent la continuité de g'. j'arrive pas à voir les 2n dernieres dont tu parles.
    quant à les écrire proprement, je ne vois pas trop cmment c'est possible, d'autant plus qu'il faudrait montrer que les 4n équation sont indépendantes, car sinon on aura plus d'inconnues que ce qu'il y a déquations.


    pour la dimandion de lespace vectoriel, effectivment j'av dit 4 car comme les fontion de R3 étaient polynomiales de degré inferieur ou égal à 3, je pensais c'etait le rev des polynomes.

    je ne comprends pas bien cette notation :
    {p(i)}x{v(i)} pourquoi tu mets un "x" entre p(i) et v(i) ?

  9. Publicité
  10. #7
    Marc

    Citation Envoyé par trinity9
    je n'arrive pas bien à voir les 4n équations je n'en vois que 2n. car moi pour moi les équation g(ai)=pi utilisent déjà la continuité de g et les équations g'(ai)=vi utlisent la continuité de g'. j'arrive pas à voir les 2n dernieres dont tu parles.
    quant à les écrire proprement, je ne vois pas trop cmment c'est possible, d'autant plus qu'il faudrait montrer que les 4n équation sont indépendantes, car sinon on aura plus d'inconnues que ce qu'il y a déquations.
    Sur la subdivision [a(i) ; a(i) +h], la fonction g doit s'écrire comme un polynome de degré 3, soit :
    g(X) = k(i)3 X^3 + k(i)2 X^2 + k(i)1 X + k(i)0

    De même, sur la subdivision [a(i+1) ; a(i+1) +h] = [a(i) +h ; a(i) +2h], la fonction g doit s'écrire :
    g(X) = k(i+1)3 X^3 + k(i+1)2 X^2 + k(i+1)1 X + k(i+1)0

    Ecrivons la continuité de g au point a(i+1) :
    k(i)3 a(i+1)^3 + k(i)2 a(i+1)^2 + k(i)1 a(i+1) + k(i)0 = k(i+1)3 a(i+1)^3 + k(i+1)2 a(i+1)^2 + k(i+1)1 a(i+1) + k(i+1)0
    => ça donne une équation. Mais comme la continuité peut s'écrire sur tous les a(i), i=1..n, ça donne bien n équations

    De même en écrivant la continuité de g', on trouve encore n équations.

    De plus, la valeur de g et de g' aux points a(i) donnent encore n+n équations :
    g(a(i)) = p(i) = k(i)3 a(i)^3 + k(i)2 a(i)^2 + k(i)1 a(i) + k(i)0
    g'(a(i)) = v(i) = ...

    Après, oui il faudra monter que les 4n équations sont indépendantes. Je te laisse le faire ... Ca sent quand même le déterminant non nul ...

    Citation Envoyé par trinity9
    je ne comprends pas bien cette notation :
    {p(i)}x{v(i)} pourquoi tu mets un "x" entre p(i) et v(i) ?
    Le "x" est une croix, celle que l'on utilise pour écrire RxR = R2.
    En fait, {p(i)}x{v(i)} = {p(1) ; p(2) ; ... ; p(n) ; v(1) ; ... ; v(n)}.

    Est-ce plus clair ? J'ai peur que non car les notations sur ce forum sont pas très lisibles :? Si non, envoie moi ton mail et je t'écrirai ça sous word ...

    Marc

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