Equations différentielles : EDO d'ordre 2

[SqrtNomis]

Bonjour, je suis étudiant en 1ère année et en m'exerçant pour les examens à l'aide d'anciens exercices, je suis tombé sur un énoncé qui me pose problème.
Le but est de trouver les solutions pour :



On m'a appris au cours à résoudre de telle manière :

1) Trouver les solutions grâce à l'EDO homogène (ici : )

2) Trouver une solution particulière : On considère le membre de droite de la forme . On pose et la multiplicité de dans les racines du polynôme caractéristique . Une solution particulière sera de la forme . Il suffit alors de poser cette solution particulière, et en remplaçant dans l'énoncé, on trouve des valeurs pour les et on quantifie la solution particulière

3) Par le principe d'additivité, on obtient l'ensemble des solutions (réelles) en additionnant notre solution particulière aux solutions précédentes.


Comme indiqué, j'ai réussi la première étape qui est en somme relativement triviale. Quant à la deuxième étape, je ne parviens pas à transformer en une expression de la forme . Je précise que nous avons vu en cours la formule d'Euler, pour rappel : .

Merci de m'éclairer sur la façon de procéder, je suis actuellement bloqué et c'est le seul cas pour ce type d'EDO où je ne parviens pas à terminer l'exercice... Régler ce problème m'aiderait grandement !
-----

[gg0]

Bonjour.

Ton second membre n'est pas de la forme , donc tu ne peux pas utiliser une solution particulière de cette forme. Cependant (et tu devrais avoir ça dans ton cours), si le second membre est un polynôme, une solution particulière polynôme de même degré peut être facilement trouvée. Donc résoudre avec t au second membre est facile; si le second membre est de la forme A sin(bt+c), une solution particulière de la forme D sin(bt+c)+E cos(bt+c) se trouve facilement, donc pour le sinus, tu as une solution particulière. Oui, mais ici, il y a la somme des deux. pas de problème, l'additivité des solutions de l'équation homogène permet d'additionner les deux.

Cordialement.

NB : Penser à ces solutions particulières edst assez évident quand on connaît bien les formules de dérivation.

[SqrtNomis]

Oh mais oui, je n'avais pas pensé à scinder le membre de droite afin d'utiliser l'additivité, merci beaucoup !