Logique dans l'énoncé d'un théorème (exemple du TVI)

[invite949a348a]

Bonjour,

Je coince, vraiment, sur un problème de logique je crois.

Dans un théorème, on a une conclusion à partir d'hypothèses.

Par exemple, si mon hypothèse A est vérifiée, alors j'obtiens B : donc A => B.
J'ai bien en tête ce qu'est la contraposée : (A => B) <=> (non B => non A).

Je pense ne pas me tromper sur ce que je viens d'écrire.

Quand je regarde le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) :

Soit f : [a,b] -> R une fonction continue sur un segment.
Pour tout réel y compris entre f(a) et f(b), il existe c appartenant à [a,b] tel que f(c) = y.

J'appelle A : " f [a,b] -> R est une fonction continue sur un segment" et B : "Pour tout réel y compris entre f(a) et f(b), il existe c appartenant à [a,b] tel que f(c) = y".

Autrement dit, le TVI dit : si A alors B. Donc B est nécessaire à A.

Mais, si on n'a pas la continuité de la fonction, alors on n'a pas la conclusion du TVI. Autrement dit : non A => non B, ce qui revient à dire : B=>A.



Je ne comprends pas où j'ai coincé (et j'ai bien cherché, la "réciproque" du TVI est fausse).
Alors, où est mon problème de logique ? :/

Merci !
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[KFSHU]

Considérons sur [0,1], la fonction f qui à x associe 1-x sur [0,1/2[ et 2 - 2x sur [1/2, 1]. Cette fonction n’est pas continue en 1/2 pour tant pour tout y entre f(0) = 1 et f(1) = 0, il existe c dans [0,1] tel que f(c) = y.

Donc «*non A => non B*» est faux.

[Merlin95]

Tu as plutôt non(A->B) ce qui n'est pas pareil que non A -> non B. Ce qui peut se voir en dressant les tables de vérités des deux propositions.

[invite949a348a]

Merci pour vos réponses.

KFSHU : merci pour cet exemple. En fait, avoir A suffit pour avoir B, mais ne pas avoir A n'est pas rédhibitoire.
Donc, c'est un abus de langage de dire que la continuité est "nécessaire" ici ? https://www.youtube.com/watch?v=_cA6CkKYZxU (voir à 1 min 45).

Merlin : désolé, je ne vois pas pourquoi j'ai non (A=>B).

[A voir en vidéo sur Futura]

[KFSHU]

«*Q est une condition nécessaire pour avoir P si dès que P est vraie, alors nécessairement, forcément, obligatoirement Q est vraie.*»

Pour Q = A et P = B.
On a P pour tant on a pas Q, donc dans le sens de la définition, il est incorrect de dire que la continuité est nécessaire.

[invite949a348a]

Merci beaucoup !

[Merlin95]

J'ai fait une erreur, c'est
non ((non A) -> B)
C'est juste la traduction de "fonction non continue n'implique pas le théorème des valeurs intermédiaires".
Si tu n'as pas la condition "fonction continue" tu ne peux pas en déduire le théorème des valeurs intermédiaires. Alors que toi tu dis que si tu n'as pas la condition "fonction continue" tu n'as pas le théorème des valeurs intermédiaires.

Si tu n'as pas le TVI ca veut dire que la fonction n'est pas continue, mais ca ne dit pas que si la fonction n'est pas continue alors tu n'as pas le TVI.

[invite949a348a]

C'est bien ce qui me semblait, qu'il manquait un "non", après relecture


J'en profite pour faire une remarque sur le langage :
dans les définitions mathématiques, les "si" sont en fait des "si et seulement si", n'est-ce pas ?

Exemple : une suite (un) est croissante si pour tout n appartenant à N alors le terme un+1 est plus grand que le terme un.

Puisque, quand je rencontre une suite dont je sais que pour tout n, le terme un+1 est plus grand que le terme un, je l'appelle suite croissante.

Mais dans ce sens là, en fait, il s'agit plutôt de mettre un mot de vocabulaire sur une notion que de "déduire" vraiment quelque chose. Qu'en pensez-vous ?

[Merlin95]

oui c'est une définition pas une proposition logique. Ici une suite croissante dans le language courant, signifie que pour tout n appartenant à N alors le terme un+1 est plus grand que le terme un.

[invite949a348a]

Merci, j'avais besoin d'éclaircir ce genre de choses

Bonne soirée

[Médiat]

dans les définitions mathématiques, les "si" sont en fait des "si et seulement si", n'est-ce pas ?

Non ! cf. l'exemple de message 2

Exemple : une suite (un) est croissante si pour tout n appartenant à N alors le terme un+1 est plus grand que le terme un.

S'il s'agit de la définition il devrait être écrit si et seulement si.


Il ne faut pas confondre => et <=>

[invite949a348a]

Dans l'exemple 2, il ne s'agit pas d'une définition, si ?

Mince, je croyais avoir compris !

[Merlin95]

Dans l'exemple 2, il ne s'agit pas d'une définition, si ?

Mince, je croyais avoir compris !

Non, je pense que tu as compris mais ce que voulait sans doute dire Médiat c'est que ce n'est parce que c'est un "si" que c'est une définition : cf. la preuve du message 2, il y a un si dans la proposition pourtant ce n'est pas une définition.

qu'il y a un seulement si dans une proposition n'implique pas que ce soit une définition (cependant ca peut se discuter si on considère que si on peut remplacer une proposition par une autre équivalente, c'est qu'elles disent la même chose).

Mais ce que tu as voulu dire c'est que si c'est une définition ca implique que la proposition peut/devrait s'écrire avec "si et seulement si" et non "ca équivaut" alors que pour moi Médiat a pensé que tu écrivais une équivalence. Salutations à tous vos neurones.

[Merlin95]

Mais ce que tu as voulu dire c'est que si c'est une définition ca implique que la proposition peut/devrait s'écrire avec "si et seulement si" et non "ca équivaut" alors que pour moi Médiat a pensé que tu écrivais une équivalence. Salutations à tous vos neurones.

Non, je m'embrouille. Médiat * suivant ce que j'ai compris aurait pensé que tu disais que dans toutes les propositions où il y a des "si", ce sont des définitions où le "si" devait être des "seulement si".

* Je m'excuse par avance auprès de Médiat pour supposer, sur ce qu'il a pensé.

[invite949a348a]

Merci Merlin.

Je prends un autre exemple, celui de la définition de la limite d'une suite.

"La suite (un) a pour limite l (appartenant à R) si : pour tout epsilon > 0, il existe un entier naturel tel que si n >= N alors l un - l l <= epsilon."

Ainsi, la définition nous dit que si j'ai ceci (pour tout epsilon etc...), alors l est (une, on n'a pas encore prouvé l'unicité ici) limite de la suite.
Pourtant, on se sert aussi de "l'autre sens" parfois, en disant que si l est limite, alors pour tout epsilon etc...

C'est ça que je voulais dire : dans les définitions, les "si" sont en fait des "si et seulement si".

[Médiat]

C'est ça que je voulais dire : dans les définitions, les "si" sont en fait des "si et seulement si".

Alors ces définitions sont mal écrites ! Si (et seulement si) on veut dire ssi il faut écrire ssi et non si !

[invite949a348a]

Malheureusement, dans les bouquins que j'ai, c'est souvent ce qui est écrit...Des références plus rigoureuses peut-être ?

[invite23cdddab]

@Médiat : C'est pourtant assez courant. J'ai attrapé le Gourdon d'analyse dans ma bibliothèque (un peu au hasard), et dès la page 9 on a ce genre de choses

"Définition 7 : Une partie F de E est dite fermée (ou F un fermé) si E\F est ouvert."

[Médiat]

C'est la différence entre le langage courant (même a but mathématique) et le langage mathématique, le premier admet plus facilement les abus de langage.

Si (et seulement si) on veut dire ssi il faut écrire ssi et non si !

le premier "si" de cette phrase est du langage courant, je n'étais pas obligé d'ajouter la partie entre parenthèses, je l'avais mise pour attirer l'attention ; au contraire j'ai bien écrit "ssi" comme s'il s'agissait d'un symbole à part entière dans la suite.

Je me garderais bien de donner des règles d'interprétation pour le langage courant, et en particulier dans l'exemple des fermés, pourquoi ne pas écrire ssi quand on signifie ssi ? Abus de langage fautif (ils le sont tous en mathématique)