dimension de l'idéal (construction GNS)

[invite69d38f86]

Bonjour

Dans le construction GNS on quotiente une C* algebre par un idéal.
je me pose une question sur la dimension de cet idéal pour la C* algebre des ccr

on y définit ceci

Notons l’ensemble des fonctions qui appliquent H dans C et
s’annulent sur tous les éléments de H sauf sur un nombre fini d’entre
eux.

il y a en particulier la fonction nulle partout et celles nulles partout saut en un point.
de telles fonctions nulles partout saut en un point ou elles valent 1 sont notées
on défintit leurs conjugués leur produit pour générer une C* algebre.

on peut ensuite introduire un etat sur cette structure pour définir des classes d'équivalences
deux fonctions a et b nulles partout sauf en un nombre fini de points seront équivalents ssi leur différence vérifie

pourriez vous me donner un exemple ou l'idéal utilisé ne soit pas réduit a l'élément nul?
merci
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[invite69d38f86]

j'ai trouvé dans un livre de Haag ce passage

A representation is called cyclic if there exists a vector in the represen-
tation space H such that is dense in H. is called a cyclic vector. It is
clear that, if A has a unit, the GNS-construction provides a cyclic representation
with the cyclic vector corresponding to the class of the unit element



ca ne veut pas dire que Omega appartient a l'idéal qui m'intéresse mais pourquoi l'élément unité apparait il dans la construction du vide Omega? (it is clear that ....)