Géométrie algébrique

[slivoc]

Bonjour à tous,

En septembre, j' ai la possibilité de prendre un cours de théorie de l' intersection ( https://www.lebesgue.fr/node/2951, le résumé est bref ), j' aurai voulu savoir quels genres de résultats on peut y trouver ( th. de Bézout, Chevalley-Warning...) ? J' ai cherché un peu mais je n' ai pas trouvé grand chose ...
En fait, ma motivation principale pour suivre un cours de géo. alg. vient d' un th que j' ai vu en topologie: connaitre les algèbres de fonctions sur une var topo et les morphismes entre celles ci, ou connaitre les variétés et les applications continues entre celles-ci, c' est la même chose. J' avais déjà ouvert un post l' an dernier sur cette question. Il y' a le même résultat en géo. alg. en remplaçant application continue, par applications régulières; on peut aussi copier coller la preuve de l' un pour prouver l' autre en faisant les hypothèses supplémentaires d' avoir la compacité pour les var top et un corps alg clos dans le second cas. (On peut aussi prendre les variété diff, les applications diff et les alg de fonctions diff, ou lisses; ça marche toujours).
J' ai cherché à faire une preuve générale, mais je n' ai pas encore abouti; je trouve ces résultats vraiment très beau et le fait que ( sous des hypothèses un peu plus fortes) les preuves soient toujours les mêmes, vraiment frappant.
Autre question, j' ai commencé à lire les livre de Shafarevich " basic algebraic geometry 1 et 2" et j' aime bien la façon dont les livres sont rédigés, mais, notamment dans le 2 (au début au moins) il y a assez peu de motivation à introduire (pré-)faisceaux, shéma etc... Y' a-t-il un livre qui montre un peu plus les intérêts de ces notions ?

Merci !
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[AncMath]

En théorie de l'intersection tu trouveras beaucoup de choses, c'est vraiment un domaine central de la géométrie algébrique.
Le point fondamental de la théorie de l'intersection c'est le théoreme de Riemann Roch.
Tu peux etudier la théorie de l'intersection sur les courbes, eventuellement les courbes dans le plan tu obtiendras le théorème de Bezout en effet. Generaliser ce résultat en dimension supérieure n'est pas chose aisée et serait vraisemblablement bien trop compliqué pour un premier cours de geometrie algébrique.
La théorie de l'intersection sur les surface est tres importante également dans leur classification (la formule de Hodge, de Noether, et le théorème de Riemann-Roch sont toutes essentielles pour la classification des surfaces tout comme le critère de Castelnuovo et tous ses résultats sont des théorèmes de la theorie de l'intersection).

Le résultat que tu mentionnes est beaucoup plus basique, et est faux en géométrie algébrique, il caractérise les variétés (ou les schémas) affines. C'est justement (en partie) pour ca que l'on introduit la notion de faisceau.

[slivoc]

Merci de ta réponse! Si je comprends ce que j' ai lu sur internet, une partie de la géométrie s' intéresse à l' analyse complexe avec le th. de Riemann-Roch .

Le résultat que tu mentionnes est beaucoup plus basique, et est faux en géométrie algébrique, il caractérise les variétés (ou les schémas) affines. C'est justement (en partie) pour ca que l'on introduit la notion de faisceau.

Il me semblait pourtant avoir lu dans le shafarevich "basic algebraic geometry 1" quelque chose comme " tout morphisme entre la k-algèbre des fonctions régulières sur Y vers celles sur X provient d' une unique application régulière de X vers Y", mais je ne l' ai plus sous la main ... Qu' entends tu par " est beaucoup plus basique" ?

Bonne journée !

[AncMath]

Merci de ta réponse! Si je comprends ce que j' ai lu sur internet, une partie de la géométrie s' intéresse à l' analyse complexe avec le th. de Riemann-Roch .

Le théorème de Riemann-Roch ne relève pas à proprement parler d'analyse complexe (meme si au départ c'est dans ce cadre qu'on l'a découvert), c'est un résultat général de géométrie algébrique qui est vrai sur tout corps.

Il me semblait pourtant avoir lu dans le shafarevich "basic algebraic geometry 1" quelque chose comme " tout morphisme entre la k-algèbre des fonctions régulières sur Y vers celles sur X provient d' une unique application régulière de X vers Y", mais je ne l' ai plus sous la main ... Qu' entends tu par " est beaucoup plus basique" ?

La propriété que tu énonces est fausse dans le cas général, par exemple prend Y la droite projective sur k, et X une courbe lisse de genre 1 sur k. Il y a un unique morphisme de k-algèbres de entre les fonctions régulières sur X et sur Y, par contre il y a plein de morphismes de X dans Y.
Ta propriété sera vraie si Y est affine par exemple. En fait, c'est une caractérisation des schémas affines.

Par beaucoup plus basique, je veux dire que c'est un résultat de base.

[A voir en vidéo sur Futura]

[0577]

Bonjour,

Le théorème de Riemann-Roch ne relève pas à proprement parler d'analyse complexe (meme si au départ c'est dans ce cadre qu'on l'a découvert), c'est un résultat général de géométrie algébrique qui est vrai sur tout corps.

Il y a un théorème de Riemann-Roch en géométrie algébrique et un théorème de Riemann-Roch en géométrie analytique complexe. L'analyse complexe n'intervient en effet pas pour le premier mais bien bour le second.