Pourquoi un intervalle d'intérieur non vide de R est forcément infini ?
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19/08/2019, 04h46
#2
choom
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Re : Intervalle infini
Envoyé par mehdi_128
Bonsoir,
Pourquoi un intervalle d'intérieur non vide de R est forcément infini ?
Bonsoir. Essai.
Par définition d’intérieur, l’intérieur d’un intervalle ]b1;b2[ ne peut pas contenir seulement un unique élément r1 de R,
puisqu’il exclu les bornes : soit r1 appartient à l’intérieur de l’intervalle, alors b1 < r1 < b2. Et comme entre 2 réels distincts il est toujours possible d’en trouver un 3ième - ici par exemple r2 = b1 + ( r1-b1 )/2 et r3 = r1 + ( b2-r1 )/2 - raisonnement que l’on peut à loisir répéter infiniment avec r2 et r3, il y a donc une infinité de réels dans l’intervalle.
Est-ce cette démonstration là que vous cherchiez ?
Bien cordialement,
Choom
19/08/2019, 05h52
#3
Médiat
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Re : Intervalle infini
Bonjour,
La démonstration de choom montre que l'intervelle ]b1, b2[ est de cardinal infini supérieur ou égal à ; établir une bijection entre ]b1, b2[ et est très simple (avec la fonction tangente) et cela démontre que ]b1, b2[ a le même cardinal que , c'est à dire
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
19/08/2019, 18h00
#4
mehdi_128
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Re : Intervalle infini
Bonjour,
Je ne cherchais pas de démonstration, juste une explication. Je ne crois pas que la démonstration soit de mon niveau.
Un intervalle d'intérieur non vide est un intervalle qui contient au moins 2 points ?
Si on prend par exemple on voit que son intérieur est donc non vide, il est infini.
L'intervalle est d'intérieur vide, il ne contient qu'un point il n'est pas infini.
Aujourd'hui
A voir en vidéo sur Futura
19/08/2019, 18h24
#5
gg0
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Re : Intervalle infini
La démonstration est tout à fait de ton niveau (*) pour le caractère infini du cardinal (**) de l'intervalle :
Tout intervalle de la forme [a,b], [a, b[,]a,b] ou ]a, b[ avec a et b réels et a<b a pour intérieur ]a, b[et tu trouveras facilement une suite infinie de termes tous différents (par exemple strictement décroissante) compris entre a et b. C'est du niveau première (ou moins pour les bons élèves).
Pour le caractère non dénombrable, médiat a donné une piste, que tu peux suivre.
Pour les intervalles infinis, à toi d'adapter la démonstration.
Cordialement.
(*) tu postes dans le forum du supérieur, donc tu considères que tu as le niveau.
(**) c'est le cardinal qui est infini, pas l'intervalle. Un intervalle infini a une borne +oo ou -oo au moins.