Schéma numérique pour la résolution d'une EDP (méthode des différences finies)

[invitea45e89ab]

Bonjour,

J'ai besoin de résoudre par la méthode des différences finies l'EDP dans le fichier ci-joint. Je bloque sur le schéma numérique à adopter. Celui que j'avais proposé s'est avéré ne pas être consistant (voir fichier).

Auriez-vous des pistes à me fournir ?

Merci

EDP.docx
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[albanxiii]

Bonjour,

J'ai validé la pièce jointe, mais le format pdf est préférable pour poster des documents sur le forum. D'autant que Word permet d'exporter dans ce format.

albanxiii, pour la modération.

[invitea45e89ab]

Ok, voici le format PDF :EDP.pdf

[albanxiii]

Merci.
Vos questions sont assez pointues, je ne sais pas si grand monde pourra vous aider efficacement sur le forum, on ne voit pas souvent de questions sur l'analyse numérique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea45e89ab]

Je vous en prie.
Effectivement, c'et ce que j'avais aussi remarqué ... Mais bon, je tente ma chance

[invite23cdddab]

Ici, le problème c'est qu'à priori, n'est pas dérivable en , même si u est régulière.

Du coup, se pose la question : Quel sens donner à l'équation?

Deux solutions que je vois (à priori) :
- Se limiter aux fonctions u telles que est dérivable en . L'équation au sens classique est donc bien définie : ton problème disparait, mais un autre problème apparait (comment se limiter aux fonctions "qui vont bien" ?)
- Considérer l'équation dans un cadre plus large (par exemple, dérivées faibles, distributions, etc) où tu peux donner un sens à la dérivée de pour une classe plus large de fonctions u.

[invitea45e89ab]

Merci de votre réponse.

Juste une question : que voulez-vous dire exactement par "donner un sens à la dérivée de pour une classe plus large de fonctions u" ?

[invite23cdddab]

Question 1 : Dans quel ensemble de fonctions tu cherches la solution de cette équation ?
Question 2 : Pour quelles fonctions u la dérivée de a(x)du/dx est bien définie ?

Si ta réponse à la question 1 n'est pas inclue dans ta réponse à la question 2, il y a un problème. A partir de là, soit tu changes ta réponse à la question 1, soit tu une théorie où "la dérivée de a(x)du/dx" a un sens pour toutes les fonctions qui t’intéressent.


Par exemple, dans les méthodes de Galerkine (type éléments finis), on va considérer l'équation et les dérivées au sens faible. Dans ce cadre, la définition de


est la suivante :


Et, avec cette définition, l'équation a un sens pour une classe de fonctions plus large. Par exemple, cette expression a un sens pour toute fonction