Équation normale d'un plan contenant deux droites définies

[1234allo]

Bonjour !

J'ai un petit exercice en maths à faire, que je pensais être facile, mais disons que ça fait un bout que je tourne en rond.

Voici le problème en question :

Donnez l'équation normale du plan qui contient les droites suivantes :
D1x,y,z)=(2,0,0)+k(0,3,0)
D2x,y,z)=(2,0,2)+k(0,0,1), où k ∈ ℝ

Le hic, c'est que je sais parfaitement comment résoudre le problème. Cependant, je n'arrive pas à trouver le point d'intersection de ces deux droites, afin d'être en mesure de trouver l'équation normale du plan en question. Serait-il possible d'avoir une démarche, s'il vous plaît ?

Merci d'avance !
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[1234allo]

Oups ! Les droites n'ont pas bien été retranscrites !

Les revoilà :

D1: (x,y,z)=(2,0,0)+k(0,3,0)
D2: (x,y,z)=(2,0,2)+k(0,0,1), où k ∈ ℝ

[Chtitmaxou]

Bonjour !

J'ai un petit exercice en maths à faire, que je pensais être facile, mais disons que ça fait un bout que je tourne en rond.

Voici le problème en question :

Donnez l'équation normale du plan qui contient les droites suivantes :
D1x,y,z)=(2,0,0)+k(0,3,0)
D2x,y,z)=(2,0,2)+k(0,0,1), où k ∈ ℝ

Le hic, c'est que je sais parfaitement comment résoudre le problème. Cependant, je n'arrive pas à trouver le point d'intersection de ces deux droites, afin d'être en mesure de trouver l'équation normale du plan en question. Serait-il possible d'avoir une démarche, s'il vous plaît ?

Merci d'avance !

Elle se croise en (2,0,0).

Tu peux trouver ce point de la manière suivante:
(2,0,0)+A(0,3,0) = (2,0,2)+B(0,0,1) ==> (2,3A,0)=(2,0,2+B)
=> 3A = 0 et 2+B=0 => A=0 et B=-2

PS: Tu peux trouver le point d'intersection sans calcul. Tu n'as qu'à visualiser la direction des droites dans l'espace

[1234allo]

Ouh là... Je ne suis pas sûre de bien comprendre cette démarche pourtant si simple...

Donc, si je comprends bien, nous n'avons qu'à établir une égalité entre les deux droites ?

Mais je dois t'avouer que tu m'as perdue à la deuxième étape... Quel calcul as-tu effectué pour en arriver à (2,3A,0) et (2,0,2+B) ?

Pour ce qui en est du reste, je comprends bien !

PS: J'aurais aimé en faire ainsi, mais il a bien été précisé dans mon problème que nous devions effectuer les calculs :'(

[A voir en vidéo sur Futura]

[1234allo]

Laissez faire, j'ai compris ! Une bonne nuit de sommeil après des heures de maths... C'est seulement ça qui me fallait afin de comprendre le tout !

Merci beaucoup pour ta réponse, Chtitmaxou !

[Chtitmaxou]

Une droite ce n'est qu'un ensemble de point.

Egaliser les deux équations de droites revient à dire:
Quelles sont les points communs à ces deux droites?

Dans l'espace euclidien, tu trouveras soit:
_Aucun point, par exemple (2,0,0) + A(1,0,0) = (0,0,1)+B(0,1,0) ==>(2+A,0,0) = (0,B,1)
Il n'existe pas de point (0 != 1)
_Un unique point: (ton cas)
_Une infinité de point (les deux droites sont alors colinéaires), par exemple (2,0,0) + A(1,0,0) = (0,0,0)+B(1,0,0) ==> 2 + A = B (il existe une infinité de couple qui vérifient cette équation).


Tu pourrais avoir d'autres solutions possibles dans des espaces non euclidien (par exemple, sur un espace courbe comme une sphere, deux droites peuvent se croiser en 2 points...)