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Volume de trois boules imbriquées



  1. #1
    Cosmologie

    Volume de trois boules imbriquées


    ------

    Bonjour,

    Besoin d'aide !

    Soit trois disques de même rayon r disposés ainsi dans le plan :

    3 disques.JPG

    Quelle est la surface occupée par ces disques ?

    Si chaque disque est le plan équatorial d'une sphère, quel volume correspond à ces trois boules imbriquées ?

    Merci

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    ansset

    Re : Volume de trois boules imbriquées

    Pour la surface des disques.
    en appelant
    A l'intersection "extérieure" ( à gauche ) des cercles O et O"
    B celle ( tj "extérieure" ) des cercles O et O'
    C celle des cercles O' et O"
    la surface totale est la somme :
    -de la surface du triangle "intérieur" ABC
    -des trois morceaux de disques coupés par les droites AB ,AC, BC.
    Dernière modification par ansset ; 29/08/2019 à 22h20.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  4. #3
    ansset

    Re : Volume de trois boules imbriquées

    essai de croquis:geogebra-cercles.jpg
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  5. #4
    Cosmologie

    Re : Volume de trois boules imbriquées

    Pour ce qui est de la surface des 3 cercles, je pense avoir trouvé. Voici les aires les plus évidentes :



    Pour les surfaces non colorées à déterminer, je les décompose comme suit :



    Soit la droite EF a mi-hauteur du carré, U/2 vaut la différence entre le demi-carré et les surfaces du triangle EFD et de la portion de cercle FDC :

    U/2=(r²/2)-[EF*(r/2)*1/2]-[Pi*r²*(alpha/360°)]

    sin(alpha)=(r/2)/r=1/2 donc alpha=30°

    EF=r*cos(alpha)=r*cos(30°)=(r* √3)/2

    U/2=(r²/2)-[((r*√3)/2)*(r/2)*1/2]-[Pi*r²/12]

    U=r²-[(r²*√3)/4]-[Pi*r²/6]

    Et : r²-U=r²-r²+[(r²*√3)/4]+[Pi*r²/6]=r²*[((√3)/4)+(Pi/6)]


    Ainsi l'aire totale A occupée par les 3 cercles est :

    A = r²+2*(Pi*r²/2)+(Pi*r²/4)+2*[(r²*(√3)/4)+(r²*Pi/6)]

    A=r²*[1+Pi+(Pi/4)+((√3)/2)+Pi/3]

    A=r²*[1+((√3)/2)+(19*Pi/12)]

    A≃6,84r²


    Ça semble correct. Maintenant pour le volume des trois boules imbriquées, je ne sais pas comment m'y prendre !!!

    Merci pour votre aide
    Images attachées Images attachées

  6. #5
    ansset

    Re : Volume de trois boules imbriquées

    bjr,
    je ne vois pas bien comment tu passes de la première figure à la seconde.
    mais qu'importe car je trouve le même résultat en partant de mon triangle + surfaces externes.

    pour les sphères, je passerai bien par une intégrale en fct de la hauteur.
    ce qui suppose de résoudre d'abord l'équation "générale" avec les même centres mais des r inf ( les cercles sont plus petits )
    Cdt
    Dernière modification par ansset ; 30/08/2019 à 15h15.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  7. A voir en vidéo sur Futura

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