Volume de trois boules imbriquées

[Cosmologie]

Bonjour,

Besoin d'aide !

Soit trois disques de même rayon r disposés ainsi dans le plan :



Quelle est la surface occupée par ces disques ?

Si chaque disque est le plan équatorial d'une sphère, quel volume correspond à ces trois boules imbriquées ?

Merci
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[ansset]

Pour la surface des disques.
en appelant
A l'intersection "extérieure" ( à gauche ) des cercles O et O"
B celle ( tj "extérieure" ) des cercles O et O'
C celle des cercles O' et O"
la surface totale est la somme :
-de la surface du triangle "intérieur" ABC
-des trois morceaux de disques coupés par les droites AB ,AC, BC.

[ansset]

essai de croquis:

[Cosmologie]

Pour ce qui est de la surface des 3 cercles, je pense avoir trouvé. Voici les aires les plus évidentes :



Pour les surfaces non colorées à déterminer, je les décompose comme suit :



Soit la droite EF a mi-hauteur du carré, U/2 vaut la différence entre le demi-carré et les surfaces du triangle EFD et de la portion de cercle FDC :

U/2=(r²/2)-[EF*(r/2)*1/2]-[Pi*r²*(alpha/360°)]

sin(alpha)=(r/2)/r=1/2 donc alpha=30°

EF=r*cos(alpha)=r*cos(30°)=(r* √3)/2

U/2=(r²/2)-[((r*√3)/2)*(r/2)*1/2]-[Pi*r²/12]

U=r²-[(r²*√3)/4]-[Pi*r²/6]

Et : r²-U=r²-r²+[(r²*√3)/4]+[Pi*r²/6]=r²*[((√3)/4)+(Pi/6)]


Ainsi l'aire totale A occupée par les 3 cercles est :

A = r²+2*(Pi*r²/2)+(Pi*r²/4)+2*[(r²*(√3)/4)+(r²*Pi/6)]

A=r²*[1+Pi+(Pi/4)+((√3)/2)+Pi/3]

A=r²*[1+((√3)/2)+(19*Pi/12)]

A≃6,84r²


Ça semble correct. Maintenant pour le volume des trois boules imbriquées, je ne sais pas comment m'y prendre !!!

Merci pour votre aide

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

bjr,
je ne vois pas bien comment tu passes de la première figure à la seconde.
mais qu'importe car je trouve le même résultat en partant de mon triangle + surfaces externes.

pour les sphères, je passerai bien par une intégrale en fct de la hauteur.
ce qui suppose de résoudre d'abord l'équation "générale" avec les même centres mais des r inf ( les cercles sont plus petits )
Cdt