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Aspect concret d'un espace vectoriel de matrice



  1. #1
    fagotg

    Aspect concret d'un espace vectoriel de matrice

    Bonjour,
    Je comprenais les espaces vectoriels composés de vecteurs, mais j'ai du mal à concevoir un espace vectoriel composé de matrice. Est ce qu'il existe encore une représentation géométrique possible de ce genre d'objets ou une application concrète qui me permette de fixer les choses dans mon esprit. J'avais compris que les matrices se comportaient comme des fonctions, quid de ces matrices "fonction" dans un espace vectoriel ?
    Merci d'avances de vos commentaires.

    -----


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  3. #2
    Médiat

    Re : Aspect concret d'un espace vectoriel de matrice

    Bonjour,

    Lareprésentation des matrices sous forme de tableau est pratique selon bien des points de vue, mais cela marcherait tout aussi bien si on représentait une matrice 2x2 sous la forme (a, b, c, d)
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  4. #3
    gg0

    Re : Aspect concret d'un espace vectoriel de matrice

    Bonjour Fagotg.

    Il est important de comprendre que les espaces vectoriels sont composés de vecteurs (= éléments de l'ensemble qui, avec deux lois, est un espace vectoriel), mais que le mot "vecteur" ne désigne en rien un objet géométrique? Il y a donc des espaces vectoriels de fonctions, de matrices, d'applications linéaires entre des espaces vectoriels, etc.
    Ce qui compte, c'est qu'on ait une opération analogue à l'addition (des nombres, des vecteurs, des fonctions, des matrices) et qu'avec un corps donné, on puisse multiplier tout élément de l'ensemble par un élément du corps(un scalaire) et enfin que ces opérations respectent certaines règles algébriques. Entre autres, les espaces vectoriels sur le corps ({0,1},+,x) (*) sont de première importance en informatique et codage.

    L'idée de représentation géométrique servira, mais le rôle de l'algèbre linéaire est justement de dépasser ce niveau pour avoir une généralisation très large. Où les calculs servent de base, sans nécessiter de figure.

    Cordialement.

    (*) opérations classiques sauf 1+1=0.

  5. #4
    stefjm

    Re : Aspect concret d'un espace vectoriel de matrice

    Cela permet d'avoir la notion de base, famille génératrice, libre, orthogonale, noyau, image, etc...
    C'est concret tout cela.
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  6. #5
    fagotg

    Re : Aspect concret d'un espace vectoriel de matrice

    Du coup comment est on arrivé à généraliser des vecteurs composés d'éléments aussi divers ?
    En général en math je suis capable d'expliquer un concept en prenant un exemple concret qui finalement montre la réalité du phénomène ? Par exemple quelque chose de pas si trivial 1/(1/2)=2 Je l'explique en disant combien j'obtiens de pizza en divisant une pizza en 1/2 part ? La solution apparait être bien 2.
    J'aimerais avoir une explication aussi limpide en algèbre linéaire si c'est possible, en pouvant jouer avec les concepts et les confronter à la réalité. Car les théorèmes de l'algèbre linéaire ne sont pas venus d'un coup, il y a même du y avoir une phase expérimentale comme dans les autres sciences.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Médiat

    Re : Aspect concret d'un espace vectoriel de matrice

    Tout tient dans la réponse de gg0 un ev est une structure abstraite qui a énormément d'application, la géométrie n'est qu'un cas particulier (fondateur peut-être)
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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  10. #7
    gg0

    Re : Aspect concret d'un espace vectoriel de matrice

    On ne peut pas progresser en maths si on a besoin toujours de concret. Difficile déjà de concrétiser
    123456789*987654321 = 121932631112635269
    En dehors du calcul, qui n'a rien de concret, personne ne peut me persuader que c'est intuitivement vrai.
    Idem avec l'algèbre :
    (a+b)²=a²+2ab+b²
    c'est vrai pour tous les nombres, mais je n'ai pas essayé de vérifier tous les nombres, je suis obligé de faire confiance à la preuve algébrique ou géométrique.

    Pour l'algèbre linéaire, on s'est aperçu, au dix-neuvième siècle, qu'on faisait des calculs comparables dans de nombreuses situations, et comparables à ce qu'on faisait avec les vecteurs du plan et de l'espace. D'où l'idée de généraliser la notion de vecteur, en laissant de côté la nature des objets considérés, pour ne conserver que les calculs qu'on fait avec. Exactement comme quand, dans 2(x+3) = 2x+6 on se moque de savoir combien vaut x.

    Fagotg, tu ferais bien de reprendre les enseignements de collège et lycée pour voir les maths de ce point de vue. Ça simplifie fortement le travail (et les "bons en maths" le font spontanément).

    Cordialement.

  11. #8
    Deedee81

    Re : Aspect concret d'un espace vectoriel de matrice

    Salut,

    Je me rappelle d'un article qui présentait les espaces ultramétriques et qui parlait du besoin fréquent d'avoir une visualisation géométrique et l'article expliquait même que ça pouvait être dangereux de vouloir ça systématiquement puisque dans ce cas on a des trucs très contre-intuitifs et très difficiles à "visualiser" (dans les espaces ultramétriques, deux boules sont ou bien inclues l'une dans l'autre ou disjointes, jamais sécantes).
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)

  12. #9
    fagotg

    Re : Aspect concret d'un espace vectoriel de matrice

    Ca vaudrait le coup d'écrire un bouquin sur le sujet, pour moi c'est du même niveau que la découverte de la vaccination avec Pasteur. Ca serait bien de raconter le cheminement des mathématiciens qui sont arrivés à cela. Vu l'ensemble des sciences qui se servent des espaces vectoriels que je commence à entrevoir....

  13. #10
    gg0

    Re : Aspect concret d'un espace vectoriel de matrice

    Il y a des livres d'histoire des mathématiques. Mais beaucoup sont confidentiels, vu le faible nombre de lecteurs intéressés.

  14. #11
    albanxiii

    Re : Aspect concret d'un espace vectoriel de matrice

    Citation Envoyé par fagotg Voir le message
    Du coup comment est on arrivé à généraliser des vecteurs composés d'éléments aussi divers ?
    Si c'est le mot vecteur qui vous gêne, utilisez en un autre à la place.

    Ce qu'on vous a dit sur les espaces vectoriels est aussi valable pour les groupes. Un groupe peut-être constitué de matrice, d'opérations de symétrie, de nombre, de légumes, d'animaux, etc. pourvu que vous définissiez proprement l'opération entre les éléments du groupe. Et rien qu'en utilisant les propriétés de définition d'un groupe (magma associatif possédant un élément neutre), les mathématiciens sont capables de trouver une quantité incroyable de propriétés et de théorèmes. Et ensuite, toutes ces choses vont pouvoir être appliquées à n'importe quel groupe "concret", tels que ceux que j'ai indiqués juste avant.

    C'est ça qui est beau dans cet aspect des maths, cette force de l'abstraction qui permet de généraliser des résultats à des ensembles de choses qui n'ont a priori aucun rapport entre elles.
    Not only is it not right, it's not even wrong!

  15. #12
    stefjm

    Re : Aspect concret d'un espace vectoriel de matrice

    Citation Envoyé par albanxiii Voir le message
    C'est ça qui est beau dans cet aspect des maths, cette force de l'abstraction qui permet de généraliser des résultats à des ensembles de choses qui n'ont a priori aucun rapport entre elles.
    J'aime bien l'exemple donné par Médiat (je crois) à propos des avions et des petits pois qui s'additionnent chacun de la même façon alors qu'il n'y a pas de raison à priori.
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

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  17. #13
    Deedee81

    Re : Aspect concret d'un espace vectoriel de matrice

    Salut,

    Le cas des espaces vectoriels ou des métriques que je citais n'est pas le plus dur. Les axiomes sont assez simples pour qu'avec un minimum d'effort on puisse se faire à l'abstraction. Et quand on assimile on (moi et peut-être d'autres ?) trouve même ça profond, élégant et très parlant.

    Par contre d'autres domaines peuvent être beaucoup plus ardus comme la topologie algébrique. Le côté particulièrement abstrait m'a toujours bloqué mais j'estime que c'est dû justement à une difficulté d'assimilation dû à la difficulté du sujet. Le tout est souvent de trouver les bons cours/livres/articles qui permettent de progresser. Après, ça vient tout seul
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)

  18. #14
    Médiat

    Re : Aspect concret d'un espace vectoriel de matrice

    Bonjour,
    Citation Envoyé par stefjm Voir le message
    J'aime bien l'exemple donné par Médiat (je crois) à propos des avions et des petits pois qui s'additionnent chacun de la même façon alors qu'il n'y a pas de raison à priori.
    J'ai effectivement illustré le coté abstrait des nombres avec des avions https://forums.futura-sciences.com/s...tml#post731654 et j'ai aussi comparé les tas de cailloux et les tas de pommes https://forums.futura-sciences.com/e...e-naturel.html (à noter que si d'un tas de 1 pomme je retire 1 pomme et d'un tas de 1 caillou je retire 1 caillou, j'obtiens 2 tas parfaitement identiques) mais je ne me souviens pas de petits-pois.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  19. #15
    stefjm

    Re : Aspect concret d'un espace vectoriel de matrice

    J'ai du confondre Médiat et Mendel : A chacun ses marottes!
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  20. #16
    minushabens

    Re : Aspect concret d'un espace vectoriel de matrice

    C'est naturel quand on apprend des mathématiques d'essayer de se raccrocher à des notions plus ou moins concrètes, et d'ailleurs les enseignants font ces rapprochements, mais il faut savoir s'en abstraire. Je me souviens que quand j'étais en sixième (il y a bientôt cinquante ans) on nous apprenait la théorie des ensembles en termes très concrets: on nous parlait d'ensembles de billes, de pierres, etc. Si bien que quand le professeur a introduit l'ensemble vide comme un objet unique, je n'étais pas d'accord. Pour moi "aucune bille" était autre chose que "aucune pierre". Je voulais que chaque sorte d'ensemble ait son ensemble vide...

  21. #17
    JPL

    Re : Aspect concret d'un espace vectoriel de matrice

    Par exemple un ensemble de bananes est un régime de bananes

    On peut très bien imagines un régime de bananes réduit au trognon, c’est un ensemble vide
    Dernière modification par JPL ; 29/08/2019 à 18h03.
    Rien ne sert de penser, il faut réfléchir avant - Pierre Dac

  22. #18
    jacknicklaus

    Re : Aspect concret d'un espace vectoriel de matrice

    Faut pas s'attacher à la signification intuitive des mots. Ce qui compte en maths, ce sont les définitions formelles et les théorèmes qu'on en déduit

    Ceci est brillamment illustré dans le cours de topologie Shadock : https://www.youtube.com/watch?v=kBQWVMyhX4w
    avec les passoires, les nouilles, les autobus.
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

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