Équation d'un cercle tangent à deux droites passant par un point donné

[The_Anonymous]

Re-Bonjour encore une fois! =)

J'ai un problème de résolution d'équation de graphique qui me fait arracher les cheveux!

Voici l'énoncé :

"Détermine les équations des cercles tangents aux droites et sachant que l'un des points de tangence est ."

Je m'y suis collé une bonne heure, j'ai au moins trouvé sur internet que les centres se trouvaient sur les bissectrices - les centres des deux cercles sont donc sur et - mais je ne vois pas en quoi cela avance le problème....

J'ai essayé moulte système d'équations, mais ce qui me pose toujours problème, c'est l'équation de ce cercle, comment résoudre avec cette fichu ligne ?

J'ai essayé de mettre le cercle et la bissectrice, sans résultat, ensuite le cercle et une droite tangente en pensant à poser le discriminant égal à zéro - sans résultat non plus.

Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît? =D merci d'avance
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[Teddy-mension]

Salut The_Anonymous !

En Terminale on est loin de faire des exercices aussi avancés (et intéressants) sur les cercles, et je trouve ça fort regrettable, parce que ce que tu nous proposes là est vraiment sympa.. ^^

Du coup, je ne suis pas sûr de moi, mais si je peux t'apporter une première réponse, voici comment je procéderais:
Appelons le point le point d'intersection des deux tangentes. Le premier point de tangence étant , et se trouvant à une distance du point d'intersection , il me semble "logique" que l'autre point de tangence se trouve également à une distance du point d'intersection . Soit ce deuxième point de tangence se trouvant sur la droite d'équation
Ayant les coordonnées de ces deux points de tangence, je définirais ensuite l'équation des deux droites perpendiculaires aux tangentes et passant par les deux points de tangence et .. Leur point d'intersection serait alors le centre du cercle (Je sais pas si tu vois ce que je veux dire ?)
Pour le rayon, on chercherait , ou , rien de bien difficile après..

En attendant que quelqu'un de plus expérimenté te réponde,
Bonne chance !

[Teddy-mension]

Hum, je viens de m'apercevoir, en te relisant, qu'il y a en réalité plusieurs cercles.
Or moi, je n'en trouve qu'un. x)
J'ai dû donc faire une erreur quelque part.. Ou alors j'ai mal, ou pas compris l'exercice..

[ansset]

Je m'y suis collé une bonne heure, j'ai au moins trouvé sur internet que les centres se trouvaient sur les bissectrices - les centres des deux cercles sont donc sur et - mais je ne vois pas en quoi cela avance le problème....

soit A le point d'intersection des deux droites.
T ton point connu
T1 et T2 les autres points de tangence à trouver.
C1 et C2 les deux centres.
AT1C1 est rectangle en T1, etc .... ( fais un dessin )
de plus AT1 = AT2=AT3 en distance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Teddy-mension]

Ah voilà je vois, j'ai oublié que le point de mon message 2#, situé sur la droite d'équation peut être de part et d'autre du point que j'ai appelé (l'intersection des deux tangentes).. Avec cette méthode, on trouverait donc bien les deux cercles.
Désolé pour cet oubli !

[The_Anonymous]

Merci beaucoup à vous deux!

J'ai utilisé ta méthode, Teddy-mension, qui m'a beaucoup plu.

Elle m'a cependant pris toute la journée, avant de remarquer que xD

Ce qui m'a fait tout recommencé ^^

M'enfin j'y suis arrivé, et c'est le plus important!

Merci beaucoup

[Teddy-mension]

Pas de soucis, content d'avoir pu t'aider !
Par contre, je n'sais pas s'il est suffisant de justifier par "c'est logique" le fait que "le deuxième point de tangence se situe aussi à une distance du point d'intersection ". x)

[The_Anonymous]

Comme les points sont sur le cercle, et que les deux points de tangence sont symétriques par rapport à la bissectrice qui est le lieu géométrique des points équidistants des deux droites, je pense que cela suffit pour expliquer que les deux distances doivent être égales.

N'hésitez pas à proposer d'autres solutions, si vous en avez ! =D

[gg0]

Une méthode plus rapide, puisque tu as déjà les équations des bissectrices : Le centre du cercle est sur la perpendiculaire en T à la droite d'équation y=7x-5 (la tangente est perpendiculaire au rayon). l'équation de cette droite est facile à déterminer (pente -1/7 et elle passe par T), et il n'y a plus qu'un système à résoudre pour chaque bissectrice.

Cordialement.

NB : je n'avais pas eu le temps de regarder en détail ce matin.