polynômes symétriques

[maatty]

Bonjour à tous et bon dimanche
j'ai un petit souci avec une propriété que je voudrais démontrer mais je me perds un peu, peut-être notamment à cause du formalisme qui rend la rédaction un peu lourde.
On considère le monôme et pour tout , on pose
.
Je veux montrer la propriété suivante:

1) le polynôme est symétrique dans


2) est symétrique <=> P est une combinaison linéaire de tels polynômes P(M).

J'ai montré le 1) sans problème est le <= du 2 aussi mais c'est l'implication directe qui me pose problème, surtout à rédiger bien que je "sente" bien la nécessité d'une telle combinaison.

J'ai commencé à écrire Soit P symétrique donc



Là je bloque un peu à part dire "ben forcément...pour qu'il soit égaux..."Si quelqu'un pouvait m'aider je lui en serait reconnaissant.
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[pilum2019]

Déjà , si on remplace les variables X1 , X2, X3, ...Xn , par le même nombre x non nul,
on tombe , par rapport à la dernière égalité écrite avec les sommes, à une égalité entre polynomes de la seule variable x.
Donc cela entraine que la dernière égalité est vraie; en fixant un nombre entier m allant de 0 à +00 ,et en se restreignant
à alpha1 + alpha2 +...alphan= m.
On obtient donc une égalité entre polynomes de plusieurs variables homogènes.

[invite51d17075]

bjr,
on peut écrire ( littéralement )un polynôme P combinaison linéaire des polynômes P(M) symétriques.
chacun des polynômes P(M) est symétrique, donc....

[pilum2019]

Un exemple avec 3 variables x , y et z : si tu as l’égalité, pour tout x, y , et z :
a x^3 + b xyz + c x²y + d xy² + e z^3 + f x² + g xy + h z² + j x
= a’ x^3 + b’ xyz + c’ x²y + d’ xy² + e’ z^3 + f’ x² + g’ xy + h’ z² + k z
Cela revient à 3 égalités, avec des polynomes homogènes de degré 3, 2, et 1, respectivement :

(A, degré 3) a x^3 + b xyz + c x²y + d xy² + e z^3 = a’ x^3 + b’ xyz + c’ x²y + d’ xy² + e’ z^3

(B, degré 2) f x² + g xy + h z² = f’ x² + g’ xy + h’ z²

(C, degré 1) j x = k z

Donc il suffit de démontrer le théorème uniquement sur les polynomes homogènes.
C’est déjà une petite avancée.

[A voir en vidéo sur Futura]

[pilum2019]

Oui, Ansset a raison :
on part de la dernère égalité écrite avec les 2 sommes :
et comme elle est vraie pour toutes les permutations....

[maatty]

bjr,
on peut écrire ( littéralement )un polynôme P combinaison linéaire des polynômes P(M) symétriques.
chacun des polynômes P(M) est symétrique, donc....

Je suis désolé, je ne comprends pas votre réponse, j'ai l'impression que votre réponse concerne la réciproque et pas l'implication directe qui est celle que je veux démontrer mais sans doute ne vous suis-je pas.

[pilum2019]

La dernière égalité est valable pour UNE permutation donnée.
Reprenons l'exemple avec 3 variables: il y a 6 permutations.
Donc on obtient 6 égalités (1 pour chaque permutation).
Or le membre de droite est toujours le même : c'est le polynome P de départ.
il suffit donc de faire la somme des 6 égalités.

[maatty]

J'ai saisi!! merci pour votre aide
bien à vous