Résolution d'équation comportant des modules et des parties imaginaires

[Souriceau2]

Bonjour,
je souhaiterais montrer que si un nombre appartient à un cercle C tel que |z+i/2| = 1/2, alors il est nécessairement de la forme -i/2 + exp(i)/2 où désigne un réel différent de .
En simplifiant l'expression caractérisant le cercle, j'arrive à cette équation :

En utilisant la définition du module, je me retrouve avec une équation du second degré d'inconnue . Cependant, quand je tente de la résoudre, je me retrouve avec des racines complexes conjuguées alors que la partie imaginaire est un réel. Pourriez-vous m'éclairer sur la résolution de ce genre d'équation ? En testant avec quelques valeurs aléatoires de , je vous clairement que les nombres ayant la forme précedement évoqués sont bien solutions de l'équation .
Merci d'avance !
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[gg0]

Bonjour.

Pourquoi tant de complication ?
En reprenant la définition de l'écriture exponentielle des complexes, on voit que les nombres dont le module est 1/2 sont justement tous les complexes de la forme 1/2 exp(i thêta), sans aucune condition sur thêta. Donc
z+1/2 = 1/2 exp(i thêta)
qui te donne le résultat attendu.

Si tu tiens absolument à utiliser ta méthode, il faut que tu nous donnes l'ensemble des calculs, qu'on puisse voir où ça coince (car il y a une erreur, des valeurs de Im(z) existent bien, et ce sont des réels).

Cordialement.

NB : Ta condition fausse "où désigne un réel différent de " me fait penser que tu fais un exercice plus large dont tu n'as pas donné l'énoncé.

[Souriceau2]

Voilà la question exacte posée dans l'exercice. En effet, celle-ci fait partie d'un exercice plus vaste. Les questions d'avant n'ont pas de rapport direct avec celle-ci. Il s'agit de montrer l'égalité de deux ensembles par double inclusion et les questions précédentes concernent une des inclusions. Celle-ci traite de l'autre.

"Justifier que z ∈ C si et seulement s’il existe θ ∈ R tel que θ différent de tel que z = −i 2 + eiθ 2 ."

C est l'ensemble des z ∈ C* tel que |z + i/2| = 1/2
Donc il faut montrer une équivalence, j'ai décidé de raisonner en montrant les deux implications. L'implication réciproque se trouve directement puisqu'on remplace simplement l'expression de z et on trouve bien le résultat recherché. L'autre est plus compliquée et c'est justement à l'équation que je suis arrivé.

Voici mes calculs :
Il s'agit d'une équation du second degré d'inconnue . On calcule le discriminant :

On considère que cette inégalité est vérifiée pour la suite du problème.
Il reste à distinguer 2 cas. Le cas où Re(z) = 1/2
et le cas où Re(z) < 1/2.
Je me suis trompé en ne regardant pas pour quelles valeurs est positif.

J'avais également pensé à considérer le cercle unité. Vu que c'est l'ensemble des nombres complexes de module 1, on applique une contraction horizontale d'un facteur 1/2 puis une translation de vecteur -1/2a avec a, un des vecteurs du plan complexe.

[gg0]

En fait, z ne peut pas être nul, ce qui arrive justement si thêta vaut Pi (à 2 pi près). C'est la seule chose çà rajouter à ce que j'expliquais.

Pour tes calculs : Je ne sais toujours pas d'où sort cette équation (E), mais comme tu sembles avoir réglé ton problème, je laisse.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Souriceau2]

Je vous prie de m'excuser, j'avais mal compris votre message, alors,
On a que z ∈ C, alors |z + i/2| = 1/2, par passage au carré, il vient que : |z + i/2|^2 = 1/4
Par propriété du module on a que d'où
En revenant à la définition du module, on a L'équation est juste puisqu'on reconnait une équation cartésienne de cercle et que celle-ci correspond parfaitement à celle de C.
Je trouve 2 solutions réelles si et seulement si et une solution double si .
Les deux solutions réelles sont :
(1) et (2)
On a d'après l'inégalité sur la partie réelle que Im(z)₁ > -1/2 et que Im(z)² < -1/2 et là ça coince, je ne sais pas comment interpréter ça !
Pour la solution double, j'ai :
Re(z) = 1/2 et Im(z) = -1/2.

Compte-tenu qu'il faut montrer une équivalence, est-ce que cela suffit de raisonner géométriquement comme je l'ai dis précédemment à partir de transformations sur le cercle unité ?

[gg0]

Ok !

Alors, il y a une erreur dès la deuxième ligne, puisque tu traites i/2 comme si c'était i.


Ce qui est surprenant, c'est qu'avec un calcul faux, tu arrives à la bonne équation !!

Cordialement.

[ansset]

Non , c'est faux, même le résultat.

Je vous prie de m'excuser, j'avais mal compris votre message, alors,
On a que z ∈ C, alors |z + i/2| = 1/2, par passage au carré, il vient que : |z + i/2|^2 = 1/4
Par propriété du module on a que d'où

c'est plutôt, en changeant les 1 en 1/2 ( faute de frappe certainement ):

[ansset]

Edit : erreur de signe , à oublier.

[Souriceau2]

En effet, j'ai fait une erreur de frappe sans m'en rendre compte, c'est bien d'où l'équation l'équation (E) Je cherche justement à avoir une forme explicite de ses solutions pour répondre à sa solution comme je trouve que les considérations géométriques sont un peu légères.

[ansset]

Ben, en bien plus direct

ici Z=z+i/2 d'ou la solution générale.

[gg0]

Bonjour Ansset.

C'était déjà dit au message 2 (avec la correction que c'est |Z|² à la place de |Z|).

Cordialement.

[ansset]

effectivement, je n'avais pas relu le fil !!!
( + ma faute de frappe )

[Souriceau2]

Merci j'ai repris votre idée en posant Z = i/2 + z. C'est la plus rapide, et surtout celle qui est la plus juste, j'ai bloqué là-dessus alors qu'il n'y avait aucun problème en fait !!