Exercice de sup sur une somme de parties entières.

[yakitori]

Bonjour,
Je suis en maths sup et je galère sur une des questions de mon DM, dans un exercice qui porte entre autres sur la partie entière :


J'ai réussi les deux premières questions (la question (a) est sans doute la plus complexe de l'exercice), mais je bloque sur la (c).
Je vois bien qu'il faudra jouer avec le binôme de Newton pour expliciter les récurrences, mais comment faire avec une somme de parties entière ?
Une petite aide serait la bienvenue.
(Et oui, je sais, je ne devrais pas m'y prendre la veille de la rentrée pour faire mon DM. Chacun fait ses erreurs...)

P.S. Je n'ai pas 47 ans, c'est juste que, ayant des soucis pour me connecter avec mon compte, j'ai utilisé le compte du paternel .
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[gg0]

Bonjour.

En remplaçant chaque terme de la somme par ce que tu as trouvé à la question 2, tu obtiens une somme "télescopique" (c'est à dire que les termes se simplifient deux à deux, sauf les extrêmes. C'est très rapide (*).

Cordialement.

(si tu ne vois pas, écris le début de la somme avec des +)

[yakitori]

Je crois que c'est bon, merci beaucoup ! Oui, des fois, je cherche à côté pendant des heures sans voir l'évidence . Mais merci du coup de pouce, tout devrait rentrer dans l'ordre sur ma feuille !

[yakitori]

Ahem, j'ai toujours un petit problème... Je ne vois pas comment déterminer la limite de la chose. Avec la formule explicite Sn = E(x/2) - E(x/2^(k+1)), je ne sais pas comment faire.
Bien sûr, x/2^(k+1) tend vers 0 positivement ou négativement, selon le signe de x, on devrait donc avoir deux limites à ce terme, 0 ou -1. Mais je n'arrive pas à démontrer ça... Nous n'avons jamais composé des limites avec la partie entière, et je n'ai aucune idée de la façon de faire.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Comme x est fixé, il y a bien une limite, qui dépend du signe de x. C'est tout !
Si tu tiens à appliquer des théorèmes, je te rappelle que E est continue à droite en tout entier.

NB : "Nous n'avons jamais composé des limites avec la partie entière" est une très mauvaise raison, il est normal de faire des choses nouvelles dans les exercices, et tu le fais depuis plus de 10 ans