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Recherche de primitive de cos^2n



  1. #1
    Colyan91

    Recherche de primitive de cos^2n


    ------

    Bonjour,
    Je recherche dans le cadre dun exercice une primitive de cos^2n pour x compris entre 0 et 2pi.
    J'ai développé en utilisant la formule d'Humeur mai après je n'arrive plus en appliquant le binôme de Newton je me retrouve alors avec :le binôme de newton:

    Somme pour l allant de 0 à 2n (2n parmit k)*(e^ix)^k*(e^-ix)^2n-k

    Voilà je me suis arrêté la parce que je ne sais pas comment simplifier la somme obtenue.
    Merci pour laide que vous pourrez m'apporter
    Bonne journée

    -----

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  3. #2
    erik

    Re : Recherche de primitive de cos^2n

    Salut,

    Mes cours de maths sont un peu lointain, je vais peut être t'orienter vers une fausse piste, mais bon ...
    Au feeling, je dirais qu'en posant In = intégrale de cos^2n, en faisant une intégration par parties, tu devrais trouver une relation entre In et I(n-1), de là en remontant trouver In.

    A tenter...
    Pythagore, Einstein... E=m(a²+b²) !!!

  4. #3
    Colyan91

    Re : Recherche de primitive de cos^2n

    Je n'ai pas compris la composition de l'intégrale par une fonction ln :mais cela ne m'aide pas dans la simplification du binôme de Newton que javais entrepris. Je ne comprend pas du tout
    Merci pour votre réponse

  5. #4
    gg0

    Re : Recherche de primitive de cos^2n

    Bonjour.

    Cours de terminale :

    Ce qui permet de nombreuses simplifications.

    NB : Dans la proposition d'Erik, il n'y a pas de "composition avec une fonction ", mais des calculs avec et

    Cordialement.

  6. #5
    Colyan91

    Re : Recherche de primitive de cos^2n

    Pour l'IPP je prend u= co^2n donc
    u'= 2n*(-sin)*(cos)^2n-1 et v'=1 donc v=t
    On a donc [tcos^2n] - integ(t*2n*(-sin)*(cos)^2n-1)
    Mais après ça je ne vois pas le lien avec In-1 ??
    Merci pour votre réponse

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    gg0

    Re : Recherche de primitive de cos^2n

    Ce n'est pas une très bonne idée. Le t va compliquer la situation.

    Si n=1, on sait faire. Si n>1, on peut utiliser un cos² pour faire apparaître des sin²; après décomposition en deux intégrales pour faire apparaître In-1, il reste une intégrale de sin² t cos^(2n-2) t = sin t ( sin t cos^(2n-2) t) de la forme UV'. On voit réapparaître In dans le calcul, mais on le repasse dans le premier membre pour terminer.
    Bon calcul !

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  10. #7
    Colyan91

    Re : Recherche de primitive de cos^2n

    Je peut decomposer le cos^2n en (1-sin^2)^n mais après ça je ne vois pas ce que je dois faire puisque vous me conseillez de decomposer en 2 élément simple mais moi jonction integrale de 1 et integrale de sin^2 en élément simple ??
    Je ne comprend pas du tout la démarche à adopter ��
    Merci quand même pour vos réponses

  11. #8
    gg0

    Re : Recherche de primitive de cos^2n

    Heu ... quand tu multiplies par (1-sin²(t)) tu ne sais pas développer ? Et obtenir ensuite deux intégrales ?
    Vraiment, tu n'essaies pas grand chose ...

    Remarque : Pour un calcul simple, la piste de la linéarisation donne rapidement une expression assez simple. Peut-être s'exercer sur n=3 et n=4 pour voir ce qui se passe dans le cas général.

    NB : je n'ai pas parlé d'élément simple.

  12. #9
    Colyan91

    Re : Recherche de primitive de cos^2n

    Je n'essaie pas grand-chose... je ne comprend pas vos explications.
    Puisque je sais decomposer : int(cos^2)^n
    =ont(1) +int(sin^2)^n mais je ne vois pas où vous voulez en venir puisque je passe dun cos à un sin avec même puissance je ne comprend pas désolé
    Merci quand même pour le coup de main.

  13. #10
    Resartus

    Re : Recherche de primitive de cos^2n

    Bonjour,
    C'est quand même ta méthode initiale avec les exponentielles qui sera la plus efficace .
    Dans le binome de newton, après simplifications ((cf la remarque de gg0 en #4)on se retrouve avec un terme constant (celui du milieu), et des paires du type exp(ikx)+exp(-ikx), c'est à dire des 2*cos(kx) qu'on sait intégrer...
    Cela marche parce que C(k, 2n) est égal à C(2n-k, 2n)

    Il faut juste faire attention au nombre de facteurs 1/2 qu'on avait au départ dont un seul sera réutilisé ensuite pour le sin(kx)
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast

  14. #11
    gg0

    Re : Recherche de primitive de cos^2n

    Je vais détailler le calcul, puisque tu n'essaies même pas de la faire, Colyan91.



    La première intégrale est In-1 et la deuxième s'intègre par parties avec U = sin(t) et V' est la grande parenthèse, où on reconnaît une dérivée de cos2n-1(t) à un coefficient multiplicatif près.

    Il reste à continuer le calcul, mais ça n'est pas mon problème. Si tu ne veux pas calculer Colyan91, je ne vais pas le faire à ta place (Voir EXERCICES ET FORUM). On obtient alors une relation de récurrence, qui permet, après pas mal d'efforts, d'avoir un résultat.
    Et c'est tellement plus simple par linéarisation ...

  15. #12
    albanxiii

    Re : Recherche de primitive de cos^2n

    Bonjour,

    Je lis quelques horreurs qu'il serait bon de corriger avant de chercher à faire des maths..

    Citation Envoyé par Colyan91 Voir le message
    Je recherche dans le cadre dun exercice une primitive de cos^2n pour x compris entre 0 et 2pi.
    Soit on cherche une primitive, soit on calcule l'intégrale entre deux bornes. Il faut choisir.
    Les deux ne sont pas équivalents, surtout dans le supérieur (on peut calculer des intégrales de fonction dont on ne sait pas trouver de primitive, premier exemple qui vient en tête ).

    Citation Envoyé par Colyan91 Voir le message
    J'ai développé en utilisant la formule d'Humeur
    Gné ?

    Citation Envoyé par Colyan91 Voir le message
    Merci pour laide que vous pourrez m'apporter
    Je ne me moque pas, ça serait trop moche.
    Not only is it not right, it's not even wrong!

  16. Publicité
  17. #13
    jacknicklaus

    Re : Recherche de primitive de cos^2n

    Citation Envoyé par Resartus Voir le message
    Bonjour,
    C'est quand même ta méthode initiale avec les exponentielles qui sera la plus efficace .
    Dans le binome de newton, après simplifications ((cf la remarque de gg0 en #4)on se retrouve avec un terme constant (celui du milieu), et des paires du type exp(ikx)+exp(-ikx), c'est à dire des 2*cos(kx) qu'on sait intégrer...
    Cela marche parce que C(k, 2n) est égal à C(2n-k, 2n)

    Il faut juste faire attention au nombre de facteurs 1/2 qu'on avait au départ dont un seul sera réutilisé ensuite pour le sin(kx)
    Et de plus, comme tu cherches non pas une primitive mais l'intégrale entre 0 et 2pi, l'intégrale entre 0 et 2pi des termes en cos(kx) vaut ....
    Donc ca devient vraiment très simple.
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

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