Petit défi

[Médiat]

Bonjour,

Le défi consiste à écrire les axiomes des groupes monogènes dans le cadre de la logique classique du premier ordre.

Indice 1 : c'est plus compliqué que cela peut sembler à première vue
Indice 2 : c'est plus simple que cela peut sembler à première vue

PS : réponse sous spoiler, pour ne pas gâcher le plaisir trop tôt
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[Deedee81]

Salut,

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Idée : il ne faut pas exprimer les axiomes de groupes plus une contrainte mais exploiter le fait que c'est un groupe monogène
(bon, c'est plus facile à dire qu'à faire, mais déjà c'est une idée)

[Médiat]

Salut Deedee,

Je réponds sans spoiler : Ce n'est pas fondamental

[Deedee81]

Je réponds sans spoiler : Ce n'est pas fondamental

D'accord. C'est moins simple que je ne pensais

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Bonjour,

Les difficultés que je vois comme ça, à la première réflexion, sont les suivantes (je "brainstorme", donc rien de structuré ici) :

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A priori on ne connait pas la notion de dans les axiomes de la théorie des groupes. Et pourtant il va bien falloir exprimer que tout élément du groupe monogène peut s'écrire comme une "puissance" d'un générateur.

Intuitivement, comme ça, sans chercher à approfondir, je me demande s'il ne faudrait pas embarquer un schéma de récurrence. Est-ce nécessaire ? Intuitivement oui, mais je fais peut-être fausse route. Est-ce que cela suffirait ? A creuser

Cordialement

[Médiat]

Bonjour PlaneteF,

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Vous avez bien vu la difficulté dans votre première phrase.

Je préfère ne pas répondre tout de suite à la deuxième, de peur d'en dire trop

Amicalement

[invite452d5a24]

Bonjour,

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1/ G est un groupe
La "récurrence" :
2/ il existe a dans G, pour toute formule P, si on a P(e) et (pour tout b dans G, P(b) implique P(b*a) et P(b*a^{-1}) alors (pour tout élément de g, P(g))

Bonne journée.

[Verdurin]

Bonsoir,
un essai :

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Je suppose définie la notion de loi de composition interne et l'ensemble Z des entiers relatifs muni de l'addition.
G est un ensemble muni d'une loi de composition interne, que je note *.

Axiomes :


Je ne suis vraiment pas certain que ce système d'axiomes soit minimal, et supposer l'existence de Z est peut-être un peu limite.

[Médiat]

Bonsoir Verdurin

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supposer l'existence de Z est peut-être un peu limite.

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En fait ce point est "complètement interdit" , d'autant plus que Z étant le seul groupe monogène infini, cette définition se mord la queue

[Médiat]

Bonjour,

Bonjour,

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1/ G est un groupe
La "récurrence" :
2/ il existe a dans G, pour toute formule P, si on a P(e) et (pour tout b dans G, P(b) implique P(b*a) et P(b*a^{-1}) alors (pour tout élément de g, P(g))

Non :

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Z + iZ vérifie ces axiomes sans être monogène

[invite452d5a24]

Non :

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Z + iZ vérifie ces axiomes sans être monogène

C'est quoi a, dans ton exemple ?

[Verdurin]

Bonsoir Médiat.

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Je veux bien que l'on utilise pas (Z,+).
En fait j'ai trouvé ça un peu douteux dans mes axiomes.

Mais on peut très bien définir Z et l'addition dans Z sans jamais faire la moindre allusion à la théorie des groupes.
Je crois que tu as tord en disant que « cette définition se mord la queue ».

[Médiat]

Bonsoir Verdurin,

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Mais on peut très bien définir Z et l'addition dans Z sans jamais faire la moindre allusion à la théorie des groupes.
Je crois que tu as tord en disant que « cette définition se mord la queue ».

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Le problème est, dans ce cas, de définir Z (dans le cadre de la logique du premier ordre)

Votre axiomatisation utilisait Z pour définir, essentiellement, Z, se mordre la queue m'a paru adéquat

[Médiat]

C'est quoi a, dans ton exemple ?

N'est-ce point évident : 1.

[Verdurin]

Mes connaissances en logique sont très limitées.

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En fait je ne sais pas si on peut définir une version quelconque de N dans le cadre de la logique du premier ordre.

Mais je suis certain que l'on peut définir Z et l’addition dans Z à partir de N et de l'addition dans N dans le cadre de la logique du premier ordre.
C'est même un grand classique.

Je ne vois toujours pas en quoi ma définition se « mord la queue ».

Je sais que tous les groupes monogènes infini sont isomorphes à (Z,+), mais je peux construire (Z,+) sans jamais parler de groupe.

[edit] En fait je me rend compte que je polémique bêtement.
Je vais arrêter et essayer de trouver mieux.

[Médiat]

Verdurin

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Non, on ne peut pas définit IN (de façon unique à isomorphisme près) en logique du premier ordre

[Verdurin]

Juste pour ma culture personnelle : peut-on définir un ensemble N et son addition en logique du premier ordre (même si il n'est pas unique à isomorphisme près) ?

[Médiat]

Ce que l'on peut faire, c'est définir une arithmétique (avec + et/ou x ou toute autre opération) dont IN est un modèle, en particulier l'arithmétique de Peano pour laquelle IN est un modèle avec des propriétés particulières

[invite0d1b0d1b]

Bonjour,


Ma tentative:

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Il s'agit de la théorie T dont les modèles (G,+,0) satisfont: (G,+,0) est un groupe abélien et 2 schéma d'axiomes: pour tout n,
-
-

Je suis parti des conditions qui déterminent la théorie de et que j'ai relâchées pour les rendre compatibles avec les groupes monogènes finis. Ensuite le premier schéma détermine les groupes finis de la théorie.

[PlaneteF]

Bonjour,

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Salut Médiat … et les autres

Il va bien falloir, à un moment ou à un autre, aborder la question de son point de vue syntaxique, et donc définir le langage de cette théorie. La théorie des groupes est généralement fondée sur un langage qui comprend un symbole de fonction et un symbole de relation (égalité), … un symbole de constante en revanche n'est pas nécessaire. Du coup ça me semble un peu "lège" comme langage pour établir une axiomatique de la théorie des groupes monogènes

J'imagine qu'il va falloir introduire une fonction du type "successeur" à la Peano et/ou une autre relation que l'égalité, du type relation d'ordre

Cordialement

[Médiat]

Bonjour

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Il s'agit de la théorie T dont les modèles (G,+,0) satisfont: (G,+,0) est un groupe abélien et 2 schéma d'axiomes: pour tout n,
-
-

Je suis parti des conditions qui déterminent la théorie de et que j'ai relâchées pour les rendre compatibles avec les groupes monogènes finis. Ensuite le premier schéma détermine les groupes finis de la théorie.

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Vos axiomes ne sont pas du premier ordre (Z, cardinal du modèle, …)

[Médiat]

Salut,

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Il va bien falloir, à un moment ou à un autre, aborder la question de son point de vue syntaxique, et donc définir le langage de cette théorie.

Oui, c'est la première chose à faire pour définir une théorie

La théorie des groupes est généralement fondée sur un langage qui comprend un symbole de fonction et un symbole de relation (égalité), … un symbole de constante en revanche n'est pas nécessaire. Du coup ça me semble un peu "lège" comme langage pour établir une axiomatique de la théorie des groupes monogènes

J'imagine qu'il va falloir introduire une fonction du type "successeur" à la Peano et/ou une autre relation que l'égalité, du type relation d'ordre

Je ne m'oppose en rien à une extension du langage, tant qu'on reste au premier ordre

Amicalement

[invite0d1b0d1b]

Bonjour

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Vos axiomes ne sont pas du premier ordre (Z, cardinal du modèle, …)

Je n'avais pas écrit les axiomes formellement pour que cela reste lisible mais cela se met facilement au premier ordre

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Pour tout , on pose:

i.e. ; et



i.e.
On prend alors où le langage est celui des groupes

[Médiat]

Bonsoir,

...

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Certes, sous cette forme c'est bien du premier ordre, mais du coup (maintenant que je comprends vos axiomes), je pense que Z + iZ est aussi un modèle

[invite0d1b0d1b]

Bonsoir,

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Certes, sous cette forme c'est bien du premier ordre, mais du coup (maintenant que je comprends vos axiomes), je pense que Z + iZ est aussi un modèle

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Non, puisque (des représentants de classes sont .
Par contre, Q est un modèle (mais il fait partie des modèles de la théorie des groupes monogènes car Q est élémentairement équivalent à un ultraproduit des Z/pZ).

En fait, c'est facile de voir que tout groupe monogène est modèle de T. Donc T est contenue dans la théorie des groupes monogènes. C'est la réciproque que je vois pas comment montrer facilement: soit G un modèle de T, comment montrer qu'il vérifie tout énoncé vrai dans tout groupe homogène? C'est clair si G est fini. Si G est infini, j'imagine qu'on peut essayer de montrer qu'un tel groupe est élémentairement à un ultraproduit de Z/nZ (pour une famille d'entiers n bien choisis). Mais je ne vois pas d'argument simple.

[Médiat]

@Cipad

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Non, puisque

Exact, je n'étais pas sûr, et cet argument est clair

Par contre, Q est un modèle (mais il fait partie des modèles de la théorie des groupes monogènes car Q est élémentairement équivalent à un ultraproduit des Z/pZ).

Oui, mais non, Q n'est pas un groupe monogène, donc votre axiomatisation ne répond pas à la question ; comme je vois que vous connaissez les ultraproduits, je suppose que vous connaissez la réponse.

[invite0d1b0d1b]

@Médiat

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Je viens de comprendre votre question
En fait j'essayais d'axiomatiser ce qu'on appellerait probablement la théorie des groupes pseudo-monogènes i.e. .
Et en effet, je sais que pour avoir une théorie dont les modèles sont exactement les groupes monogènes, il faut renoncer à la logique du premier ordre.

[Médiat]

Vous avez tout compris

Demandez à un modérateur de transformer votre vDash en vdash

[invite452d5a24]

Bonjour,

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1/ G est un groupe
La "récurrence" :
2/ il existe a dans G, pour toute formule P, si on a P(e) et (pour tout b dans G, P(b) implique P(b*a) et P(b*a^{-1}) alors (pour tout élément de g, P(g))

Une justification ici :

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a/ Soit G un groupe monogène engendré par a, alors G vérifie T.

b/ Soit G un groupe vérifiant T, alors il existe un a dans G tel que T2/, on prend <a> le sous groupe de G engendré par a, alors P(b)="b \in <a>" vérifie P(e) et l'hérédité donc <a>=G.

fin de la justification.

Bonne journée.

[PlaneteF]

Bonjour,

Salut Médiat ; à vrai dire, je suis un peu interpellé par ceci :

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A la lecture des différents messages de ce fil, je ne suis pas sûr de bien comprendre ce qui est demandé ici :

A ma connaissance, un axiome est une notion 100% syntaxique et par conséquent on ne peut écrire un axiome qu'en utilisant le jeu de symboles de base de la logique classique du premier ordre, ajouté des symboles du langage de la théorie. Or je vois à longueur de discussions de ce fil, des symboles comme , , , … et beaucoup d'autres comme ça, … qui sont tous hors syntaxe. J'ai pu lire aussi la notion de modèle, mais un modèle est une notion sémantique, pas syntaxique.

Du coup je ne suis plus trop sûr de ce dont il s'agit ici et je me demande s'il n'y aurait pas quelque chose qui m'échappe dans l'objectif de cet "exercice"

Cordialement

Cordialement