Petit défi

[Médiat]

Salut PlaneteF

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A ma connaissance, un axiome est une notion 100% syntaxique et par conséquent on ne peut écrire un axiome qu'en utilisant le jeu de symboles de base de la logique classique du premier ordre, ajouté des symboles du langage de la théorie. Or je vois à longueur de discussions de ce fil, des symboles comme , , , … et beaucoup d'autres comme ça, … qui sont tous hors syntaxe. J'ai pu lire aussi la notion de modèle, mais un modèle est une notion sémantique, pas syntaxique.

100¨% d'accord (le i que j'ai utilisé c'était pour décrire un modèle, pas dans une partie syntaxique)

Du coup je ne suis plus trop sûr de ce dont il s'agit ici et je me demande s'il n'y aurait pas quelque chose qui m'échappe dans l'objectif de cet "exercice"

Vous me connaissez : il y un piège

Amicalement
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[JPL]

Vous avez tout compris

Demandez à un modérateur de transformer votre vDash en vdash

C’est fait.

[syborgg]

@Médiat

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Je viens de comprendre votre question
En fait j'essayais d'axiomatiser ce qu'on appellerait probablement la théorie des groupes pseudo-monogènes i.e. .
Et en effet, je sais que pour avoir une théorie dont les modèles sont exactement les groupes monogènes, il faut renoncer à la logique du premier ordre.

Tout cela me rappelle fortement l'axiomatisation des corps pseudo finis ou des corps pseudo algebriquement clos....

[Médiat]

Oui, il faut avouer que c'est tentant de se demander quelles sont les propriétés des modèles infinis qui, d'une façon ou d'une autre, prolongent les modèles finis (et on peut se poser ce type de question pour toutes les classes de modèles qui ne sont pas axiomatisables, mais qui présentent un intérêt mathématique).

Mais cela nous éloigne du "petit défi" qui est moins ambitieux

[syborgg]

L'axiomatisation a laquelle tu penses se fait elle dans le pur langage des groupes ?

[Médiat]

@syborgg

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Je ne pose aucune autre condition que FOL, donc si vous voulez étendre le langage, pas de problème, mais vu vos connaissances en logique je suis étonné que vous n'ayez pas vu le petit piège de la question

Dans mon message #34, j'aurais dû écrire "pas axiomatisable dans la logique du premier ordre"

[syborgg]

Ok je crois comprendre : l'ultra produit de tous les groupes monogenes finis n'est ce pas ?

[Médiat]

Ok je crois comprendre : l'ultra produit de tous les groupes monogenes finis n'est ce pas ?

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Oui, d'un point de vue théorie des modèles, mais si on se conforme à la définition des mathématiciens, Z est le seul groupe monogène infini, donc ...

[syborgg]

Ah oui bien sur suis je bete....
Mais j'ai un doute sur la possibilite de faire comprendre a des non logiciens facilement qu'un theorie du premier ordre qui a un modele infini a aussi des modeles de toute cardinalite...

[Médiat]

C'est le but

[syborgg]

C'est le but

Le but est de donner ici une preuve de Lowenheim Skolen ascendant et descendant ? pourquoi pas apres tout..

[Médiat]

Plutôt d'en faire la pub, c'est un théorème énorme et méconnu ; pour publier une démonstration, il faudrait commencer par un peu de théorie des modèles (et cette démo se trouve sur le net facilement)

[syborgg]

Plutôt d'en faire la pub, c'est un théorème énorme et méconnu ; pour publier une démonstration, il faudrait commencer par un peu de théorie des modèles (et cette démo se trouve sur le net facilement)

Ok c'est une bonne idee d'en faire la pub en effet

Mais il faudrait surement commencer par faire comprendre la notion d'extension elementaire a nos chers forumeurs, ce qui n'est peut etre pas tout a fait evident a des non logiciens qui n'ont jamais mis un nez dans la logique.

[Médiat]

Mais il faudrait surement commencer par faire comprendre la notion d'extension elementaire a nos chers forumeurs,

Je pense à la notion d'équivalence élémentaire qui est plus simple et tout aussi fondamentale (avec son articulation avec la notion d'isomorphisme)

[syborgg]

Je pense à la notion d'équivalence élémentaire qui est plus simple et tout aussi fondamentale (avec son articulation avec la notion d'isomorphisme)

Alors peut etre ouvrir une nouvelle discution pour presenter le sujet non ?

[Médiat]

Oui, c'est une bonne idée.

[syborgg]

Tu le fait ou je m'y colle ?

[Médiat]

Je n'avais pas l'intension de le faire ce week-end (pas le temps), donc si vous voulez, allez-y, je complèterai éventuellement histoire de proposer plusieurs éclairages (on a tous des façons différentes de voir et de comprendre les choses)

[Médiat]

Bonjour,

La réponse est : c'est impossible.

J'explique les indices :

1) A première vue on peut se dire que c'est très simple puisque la définition de groupe monogène est très simple, il suffit de la restituer en termes formels, mais rapidement il apparaît que cette définition usuelle utilise Z, ce qui n'est pas du premier ordre, c'est donc plus compliqué.

2) Dès qu'on s'est dit que ce n'était pas simple, si on se souvient que le seul groupe monogène infini est Z et que l'on connaît le théorème de Löwenheim-Skolem, alors tout devient simple : c'est impossible !

Voir quelques explications supplémentaires : https://forums.futura-sciences.com/m...de-mediat.html

[PlaneteF]

Salut Médiat,

Défi N°2 :

Est-ce que les 2 indices suivants

Indice 1 : c'est plus compliqué que cela peut sembler à première vue
Indice 2 : c'est plus simple que cela peut sembler à première vue

répondent à la définition ci-dessous ?

https://www.linternaute.fr/dictionna...tion/indice-1/

Indice 3 : Il n'y a pas de réponse unique

Indice 4 : Indice 3 n'est pas un indice



Cordialement

[Médiat]

Salut PlaneteF

Oui ce sont vraiment des indices, une personne s'étant contenter d'écrire la définition usuelle auraitpu se dire "trop simple, il doit y avoir un piège", une personne ayant cherhcé des solutions compliquées pour éliminer Z de leur réponse aurait pu se dire, après quelques essais, "trop compliqué, il doit y a voir un truc".

[azizovsky]

Pourquoi pas seulement avec on posant et et l'inverse de avec par exemple pour un ordre 2 {e,a} , a et l'inverse de lui même
(un quiche pour comprendre votre langage...)

[Médiat]

Bonsoir,

IN non plus n'est pas définissable au premier ordre

[invite9dc7b526]

1) A première vue on peut se dire que c'est très simple puisque la définition de groupe monogène est très simple, il suffit de la restituer en termes formels, mais rapidement il apparaît que cette définition usuelle utilise Z, ce qui n'est pas du premier ordre, c'est donc plus compliqué.

il me semble qu'on peut définir un groupe monogène sans parler de Z. C'est un groupe G dans lequel il existe un élément g tel que le seul sous-groupe de G contenant g soit G lui-même.

[Médiat]

Mais comment écrivez-vous cela avec des formules ?

[invite452d5a24]

C'est ce que j'avais fait ici :

1/ G est un groupe
La "récurrence" :
2/ il existe a dans G, pour toute formule P, si on a P(e) et (pour tout b dans G, P(b) implique P(b*a) et P(b*a^{-1}) alors (pour tout élément de g, P(g))

Une justification ici :
a/ Soit G un groupe monogène engendré par a, alors G vérifie T.

b/ Soit G un groupe vérifiant T, alors il existe un a dans G tel que T2/, on prend <a> le sous groupe de G engendré par a, alors P(b)="b \in <a>" vérifie P(e) et l'hérédité donc <a>=G.

[Médiat]

Cherchez l'erreur ...

[invite0d1b0d1b]

Bonsoir,

@Dattier: la propriété P(b)="b \in <a>" ne peut pas être écrite comme une formule du premier ordre.

[invite452d5a24]

C'est toi qui prétend qu'elle n'est pas d'axiomatisation du premier ordre, et moi qui ait donné une axiomatisation avec justification à l'appuie...

Alors à toi de prouver que ce que je propose est faux, c'est comme cela que ça marche non ?

PS : si je pensais que ma réponse était fausse, je ne l'aurais pas proposé.

[invite452d5a24]

@Dattier: la propriété P(b)="b \in <a>" ne peut pas être écrite comme une formule du premier ordre.

<a> est le plus petit sous groupe de G contenant a.