Une suite non ordinaire !

[epsilon0]

Bonjours , j'ai un problème avec cette suite :
u_n+1=1+n/u_n et u₁= 1.
Montrer que u_n=n^1/2+2+o(1) .
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[gg0]

voir sur cet autre forum.

Cordialement.

[Resartus]

Bonjour,
Enoncé faux ou mal recopié. Ce devrait être racine(n)+ 1/2

[epsilon0]

Oui il y'a une erreur u_n=n^1/2+1/2+o(1) .

[A voir en vidéo sur Futura]

[pilum2019]

Très drole ce mouvement pendulaire !
Sinon, calcule u(n+1) - u(n), dans le but de prouver que u est une suite croissante.
Cela te fera avancer.

[ansset]

comme personne n'a répondu je propose comme piste ( qui marche )
de montrer par récurrence que

à condition d'initialiser au rang 6 ( si on veut des inégalités strictes.)
sinon le rang 4 .

[ansset]

Edit, encadrement trop serré (une des inégalités ne fonctionnait pas facilement) , il suffit de:

et on peut initialiser beaucoup plus bas.

[pm42]

comme personne n'a répondu je propose comme piste ( qui marche )

Si, si, il y a eu pas mal de choses sur l'autre forum où comme ici, il n'a pas eu la politesse de revenir participer.
Ceci dit, ici, il n'a pas eu non plus celle de respecter la charte et d'expliquer ce qu'il avait essayé de faire.

[pilum2019]

Euh..Désolé Ansset, mais j'ai REPONDU.
La méthode est de calculer U(n+1)-U(n), et on tombe sur un premier invariant (sous forme d'inégalité), à démontrer par récurrence. Récurrence impossible.
Mais en calculant ce 1er invariant au rang n+1, on tombe sur un deuxième invariant (une seconde inégalité).
Et ce sont ces deux invariants qui facilitent la récurrence, l'un entraînant la démonstration de l'autre.
Et tout ceci, sans manipuler de racines carrées.
A la fin , on traduit ces invariants (avec des règles de trinomes du lycée) et on tombe sur une double inégalité analogue à ce que tu as proposé.

[ansset]

OK ! j'ai du mal lire.
sur l'autre forum , je n'avais rien vu à l'ouverture, et je n'y suis pas retourné.
et tu en disais peu de ton coté ici.

mais ( anyway ) il est vrai qu'epsilon a été un peu léger.
Cdt

[pilum2019]

Voici les détails de mon calcul, comme demandé par Ansset :
Bien sur, il faudrait généraliser au cas U0 différent de 1.

suitepasordinaire.pdf