Intégrale Impropre Divergente et étude numérique

[gusglockboy]

Coucou FS,
(Pour info, je suis en L3 Ingéniérie à UPMC)

Je bosse sur la solution numérique de la période du pendule simple. Je vais parler de la partie maths/info de l'étude, donc j'ai posté ici !
A partir de l'équation du pendule que je rappelle :
On peut déduire l'expression de la période:
: ça, c'est vérifié.

Sauf que, sauf erreur de ma part, cette intégrale est impropre divergente n'est-ce pas ? Donc en soi, elle n'existerait même pas ?
Quoi qu'il en soit, je doute que mes profs me donne quelque-chose d'impossible à faire donc je suis dubitatif. Peut-être que c'est très simple à faire, mais j'ai tendance à m'embourber dans les problèmes au point de ne plus y voir clair.
Je dois approcher cette intégrale numériquement, puis faire tendre le Theta 0 vers 0 pour retrouver la solution de l'équation linéaire correspondante, classique quoi (je n'ai pas encore réussi à trouver un truc vraiment potable).
Donc en somme ma question est, l'un(e) d'entre vous pourrait-elle/il m'éclairer pour que je comprenne bien ce que j'étudie ?
Si vous avez des propositions d'Algorithme (je demande pas informatique, on est sur le fo maths ) pour éclaircir l'étude numérique, je suis preneur !

Thanks
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[gg0]

Bonjour.

Pourquoi dis-tu que cette intégrale impropre diverge ? Le fait que le dénominateur s'annule pour en fait une intégrale impropre, mais pas nécessairement divergente.

Cordialement.

[albanxiii]

Bonjour,

Sauf que, sauf erreur de ma part, cette intégrale est impropre divergente n'est-ce pas ?

C'est pas ça qui va arreter un physicien

Blague à part, au lieu de poser la question, vous avez essayé les techniques usuelles pour étudier la convergence ?

(rappel : l'intégrale de est convergente en 0).
(conseil : bien que cela na soit pas à la mode, cela n'est pas sale de se taper des calculs, c'est même très utile)

[gusglockboy]

L'orgueil des mathématiciens se fait déjà sentir
Blague à part, oui j'ai fait les calculs hier soir et j'ai trouvé que ce qui est à l'intérieur de l'intégrale est équivalent à en passant par un p'tit changement de variable donc ouais c'est convergent.
Si j'ai posé la question c'est parce-que mon code me renvoie "Infinity" donc je l'ai cru naïvement (j'ai utilisé la méthode des trapèzes), le problème doit donc venir du code, et plus particulièrement du dernier "trapèze" où les cosinus s'annulent.
Comment puis-je adapter l'algorithme alors ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Opabinia]

Bonjour,

Tu dois calculer l'intégrale I = ∫₀^θ₀(Cos(θ) - Cos(θ₀))^-1/2.dθ .

L'expression figurant sous le radical u = Cos(θ) - Cos(θ₀)
s'annule en θ = θ₀
et y présente une dérivée u' = -Sin(θ) qui a pour valeur u'₀ = -Sin(θ₀) au point considéré;

La fonction affine v = Sin(θ₀)(θ₀ - θ) présente les mêmes propriétés.

Tu pourrais donc envisager le calcul numérique de (I) par la formule indirecte:

I = ∫₀^θ₀(v^-1/2).dθ + ∫₀^θ₀w.dθ = I₁ + I₂ .

La première intégrale (I₁) admet une expression simple;
la seconde (I₂) est celle d'une fonction continue et dérivable sur [0 ; θ₀[ :w = (u^-1/2 - v^-1/2), et dont la valeur numérique peut être aisément obtenue avec la précision voulue.

[Opabinia]

@ albanxiii C'est pas ça qui va arrêter un physicien

Là, je proteste !

[Opabinia]

@ gusglockboy: la fonction (w) peut être étendue à [0 ; θ₀] en posant
w(θ₀) = 0 = Lim(w) _{quand θ ---> θ0} .

[ansset]

bjr,

Si j'ai posé la question c'est parce-que mon code me renvoie "Infinity" donc je l'ai cru naïvement (j'ai utilisé la méthode des trapèzes), le problème doit donc venir du code, et plus particulièrement du dernier "trapèze" où les cosinus s'annulent.
Comment puis-je adapter l'algorithme alors ?

En dehors de la solution mathématique qui a été donnée, tu sembles en prise avec ton code.
Je ne comprend pas ton souci avec le "dernier trapèze" dans la mesure ou on somme de k=0 à n-1.