Covariance x et y^k et question sur loi inverse Chi carre

[mahoumaru]

Salut,
J'ai en fait plusieurs questions que je vais essayer de répartir en deux parties independantes:
Première partie:

• Je me demandais s'il existait une formule pour exprimer la covariance de x et en fonction de la covariance de x et y:
  
  
• Ensuite, est-il ok de poser la relation suivante:
  
  
• Enfin, je me demandais s'il y avait une relation entre
  et le moment d'ordre k

Seconde partie:

• Etant donnée une variable X suivant la loi du Chi deux . Nous savons que , k étant une constante positive et que . Est-il absolument vrai de dire que

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[gg0]

Bonjour.

1)

Déjà la moyenne des y^k ne s'exprime pas en fonction de la moyenne des y. Il est peu réaliste d'espérer une formule générale. Et la dispersion est totalement changée quand on met l'une des variables à une puissance supérieure à 1.
2)
Rien à voir avec ce que tu écris.
3) aucune, le premier dépend des valeurs de x, pas le deuxième.

En bilan : Tu sembles un peu traiter les formules de calcul des probas comme des formules magiques. Les maths n'ont rien de magique, et en général deux choses différentes se comportent différemment. Il y a des cas particulier de liens entre des choses, parfois surprenants, mais c'est justement ce qu'on apprend en cours de formation.

Cordialement.

[gg0]

Pour la deuxième partie, je ne comprends pas ce que tu racontes. X+k ne suit pas une loi du khi-deux (sauf si k=0) puisqu'il prend ses valeurs sur [k,+oo[, pas sur [0,+oo[.

[mahoumaru]

Merci pour tes réponses, mais je me serais bien passé de la partie psychanalyse et "formule magique". Comme tu le dis "Il y a des cas particulier de liens entre des choses, parfois surprenants, mais c'est justement ce qu'on apprend en cours de formation", et c'est justement pour cette raison que j'ai posé la question, pas parce que j'attends des formules magiques.
Parfois, on découvre des théorèmes dont on avait jamais entendu parlé, des relations établies qu'on ne connaissait même pas, et c'est à cause de cela que je me suis permis de poser ces questions, pour être sûr de ne pas avoir raté quelque chose. Ne va pas chercher plus loin, s'il te plaît.

Tes réponses sont les bien venus et une fois lu, c'était assez évident (mais mieux vaut toujours demander pour être sûr, surtout quand on ne connaît pas toutes les ficelles du domaine). Ils me confortent dans mes intuitions premières, à part peut-être pour la dernière.
X + k ne suit plus une loi de Chi-deux, parce que l'intervalle à changer ? (Ça par exemple, je ne m'en serais jamais douté) Sais-tu s'il y a une loi définie pour ce genre de variables aléatoires (s'il te plaît, je ne demande pas une formule magique, c'est juste une question pour savoir ce que je ne sais pas. Si tu veux bien me répondre, je t'en serai vraiment reconnaissant, mais je ne crois pas qu'une psychanalyse soit très appropriée ici).

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mahoumaru]

Tiens, pour la 2, , ça c'est vrai, non? Ta réponse n'est pas très claire à ce sujet (je n'avais pas beaucoup d'espoir pour la seconde égalité, mais pour la première, je l'ai dérivée de la définition de la relation entre l'espérance du produit deux variables aléatoires et celui de leur covariance. Mais après le coup du Chi-deux, et au vu de ta réponse qui semble assez catégorique, je ne suis plus très sûr là).

[mahoumaru]

Dommage qu'on ne puisse pas éditer son précédent message, histoire d'éviter les multiples postes.

J'ai du coup une question un peu plus générale. Le cas du Khi-deux est-il spécifique aux distributions de ce genre là (définies sur une partie de R, et pas sur l'autre)? Ou est-ce qu'il y a d'autres distributions pour lesquelles (X + k) n'a pas la même distribution que X?

Par exemple, pour la loi Gaussienne, (X+k) suit la même loi que X, même si la moyenne a changé. Idem pour les autres lois usuelles, non? Me tromperais-je encore dans cette assomption?

[gg0]

Désolé si je t'ai choqué, mais une réflexion sur les formulations aurait dû t'alerter sur la fausseté de tes hypothèses. Bien sûr, on peut demander le ciel, mais ce genre de question fait quand même un peu "rêveur", non ?

Pour la 2, l'égalité que tu reprends est effectivement fausse, la covariance de deux variables n'est généralement pas la moyenne de leur produit. C'est le cas si les variables sont centrées (revois la formule de la covariance), dans ton cas, la première l'est, pas la deuxième. Tu as peut-être confondu (y-mu_y)^k et y^k-mu_y^k. Rappel : la moyenne d'une variable aléatoire X élévée à la puissance k n'est pas m^k où m est la moyenne de X.
Pour la loi du khi², si une loi est définie sur un intervalle (densité non nulle sur cet intervalle), une variable aléatoire qui n'est pas ainsi ne peut pas avoir la même densité, c'est une évidence . Donc n'est de cette loi. Ton "Nous savons" vient d'où ? D'un cours faux ? En tout cas, il m'a choqué, parce que moi, je je savais pas. Je ne suis pas un grand spécialiste des probas, j'ai réfléchi, et je suis sûr que c'est faux. X+k suit une loi du khi-deux décalée, pas une loi du khi².

[mahoumaru]

Tu peux par exemple éviter des termes du genre "j'ai réfléchi", comme si l'autre ne l'avait pas fait. C'est très dégradant, et on n'est pas là pour ça. Une question n'est jamais stupide, il est plutôt stupide de garder des doutes en soit et de ne jamais complètement savoir.
Les mathématiques sont assez complexes pour qu'une personne comme moi, qui ne sait pas tout, ne considère pas ses résultats/réflexions comme garantis. Parfois, j'ai ce doute là qui est toujours là "et si tu avais tort, et qu'il y avait un lien que tu ne connaissais pas?". La seule façon de faire taire cette voix, est de poser la question à quelqu'un qui sait mieux, d'où l'existence même des forums (pratique quand on n'a pas un prof sous la main ).

Pour la 2, je vais donner l'impression d'insister et je m'en excuse d'avance. Je pense avoir compris ta réponse, mais je ne vois toujours pas où j'ai pu me tromper dans mon calcul (oui je sais, je suis un incorrigible ignorant). Voici mon raisonnement:
Soit X et Y deux variables aléatoires, on a une formule magique qui dit que:

J'espère que la formule ci-dessus n'est pas fausse. Je ne pense pas qu'elle le soit, mais bon.
Maintenant, considérons

où et sont les moyennes respectives et (c'est plus facile à écrire en latex que mu_x ).
En utilisant la formule précédente, on obtient:


Et en se servant de la propriété de linéarité de l'espérance, j'ai développé ça comme suit:

D'où le résultat final qui ne dépend pas de la forme qu'a Y:

Quelle est mon erreur ici? Est-ce que le changement de variable est supposé tout modifier, de sorte que passer de la formule initiale, l'opération devient erronée?

Pour la loi du Khi-deux, désolé, mais je ne connais pas trop la loi du khi-deux décalée. En quoi est-elle différente de la loi du khi-deux? Je sais (je viens de faire une recherche google), qu'il y a la loi du Khi-deux non centrée, mais ça n'a pas l'air d'être de ça qu'il s'agit. Peux-tu être plus spécifique, comme par exemple, me donner un lien pour en apprendre plus là-dessus?

Pour ce qui est de la densité, je vois un peu ce que tu veux dire; et ce que tu considères comme étant une évidence semble en effet l'être. Mais le fait est que modifier la position de la distribution, ne change généralement pas cette distribution. Les paramètres changent peut-être, mais ça reste la même distribution. Si tu prends une variable aléatoire qui suit une loi de probabilité donnée, et que tu lui adjoints une constante finie, la variable que tu obtiens devrait, selon mon expérience (mince, je l'avoue) et mon intuition (je ne lui pas fais pas confiance non plus), suivre la même loi que celle de départ. Que ce ne soit pas le cas pour le Khi-deux me rend donc très perplexe et curieux d'en savoir plus, parce que ça remet en cause beaucoup de choses que je tenais pour acquis quant aux variables aléatoires et aux lois qu'elles suivent.
Pour le Khi-deux, j'avoue ne pas comprendre pourquoi le simple fait de passer de à change la distribution. La moyenne, ok, il n'y a même pas de place pour le doute, mais la distribution elle-même? Surtout que l'offset ne modifie pas la surface sous la courbe! Si tu intègres la fonction de densité du Khi original sur , tu obtiendras 1, mais je crois bien que c'est la même chose si tu intègres le Khi "décalé" sur , voire même sur , non?
Il est vrai que le Khi-deux a une définition particulière, tirée de la somme du carré d'échantillons venus de la loi normale, je peux donc concevoir qu'elle soit un peu particulière et qu'il faille faire attention.
Mais je ne vois pas pourquoi (X+k) ne suit plus une loi du Khi-deux, ni ne comprend en quoi le "Khi-deux décalé" est différent du Khi-deux. Ce sont en fait ces deux points que je veux comprendre, et si possible, étendre cela au cas du Khi-deux inverse.

[minushabens]

salut, si a=EX alors E(X-a)=0 mais on n'a pas en général E{(X-a)^k}=0

[mahoumaru]

Salut minushabens,
Ce n'est pas (x-a)^k, mais (x-a). Seul le terme de Y a une puissance (y-b)^k.

Merci quand même

[minushabens]

ce qui vaut pour X vaut pour Y

[mahoumaru]

Qu'est-ce que tu veux dire par là? Que (x-a) est équivalent à (y-b)^k? Parlons-nous des même équations? Peux-tu être plus explicite?

[minushabens]

excuse-moi, j'avais mal lu. Mais tu as raison : si X est centrée et Y quelconque alors Cov(X,Y) = EXY

[gg0]

Bon,

Je me rends compte que je me suis trompé en disant qu'il y avait cette erreur. Je ne connaissais pas cette propriété de la covariance (j'ai bien dit que je ne suis pas spécialiste, je la connaissais pour deux variables centrées.
Mais comme mes avis ne plaisent pas, je laisse Mahomaru avec des répondeurs plus forts que moi.

[mahoumaru]

Je vous remercie pour vos réponses.