équivalence d'équation hyperbolique.

[gloups13]

Bonjour tout le monde,
Dans le long processus pour trouver la tension minimale dans une chaînette, je dois montrer l'équivalence suivante:

ch(t)=t.sh(t) <=>(t-1)exp(2t)=t+1

Pour montrer cela, j'ai essayé de partir de la gauche vers la droite en passant à la forme exponentielle. Mais je n'arrive pas à faire apparaître les exp(2t). Je suis donc reparti du début en élevant tout au carré mais après des lignes de calcules, je n'ai rien de concluant.
Pouvez vous me mettre sur la bonne voix.
Merci.
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[gg0]

Bonjour.

Par écrit, la voix ne passe pas, mais je pense que la bonne voie est de diviser les deux membres par sh(t), non nul si t est une solution, de simplifier par 2, puis multiplier haut et bas par exp(t); enfin, on résout par rapport à exp(2t).

Cordialement.

[gloups13]

je sais pas d'où vous est venu cette intuition de diviser par sh(t) mais en tout cas, c'était la bonne. Merci.
Tant que vous êtes présent, auriez vous une piste pour résoudre cette équation:
(t-1)exp(2t)=t+1.

Moi, j'arrive à 2t+ ln(t²+t-1)+ln(2)=0 et là,je suis un peu bloqué!

[gg0]

En fait,

quand on connaît bien les fonctions hyperboliques, on sait que la tangente s'écrit en fonction de exp(2t); d'autre part, l'écriture déduite de ta conclusion (t-1)/(t+1) est un classique, et th s'écrit aussi de cette façon.

Sinon, pour ton équation, je doute qu'il y ait une expression algébrique des solutions. Par contre, localiser les solutions à l'aide des courbes de exp(2t) et (t-1)/(t+1) ne pose pas de difficultés, et si on veut en préciser des valeurs approchées, il y a des méthodes.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gloups13]

Voici la question à laquelle je dois répondre.

Montrer que l’équation ch t = t sh t est équivalente à l’équation (t−1)e
2t = t+1. Montrer que, sur [0, +∞[, cette équation a une unique solution τ. Une valeur approchée
de τ est τ = 1, 19968 . . .

Donc il doit bien y avoir une expression algébrique.

[gg0]

Ben non, justement, l'énoncé ne te demande pas de calculer une expression algébrique de cette racine, seulement de justifier qu'il y en a une.