Etudier la convergence d'une série

[ArnoGreg]

Bonjour,

je dois étudier la série de terme général où .

Je sais que lorsque .

Et c'est là où j'ai un doute.

Puis-je écrire que et conclure a la divergence de la série ?

Je pense que oui, mais j'ai un petit doute.
Merci de votre aide.
-----

[minushabens]

pour commencer l'inégalité que tu veux écrire n'est pas vraie si a est négatif.

[ArnoGreg]

Ah oui.
Un coup de pouce ?
Encore merci pour l'aide !

[gg0]

Bonjour.

Tout d'abord, il y a une valeur évidente de a pour laquelle la série converge. Ensuite la série de terme général a (2a)^n-1 peut tout à fait converger.

A ta place je regarderais si le terme général tend bien vers 0.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

bjr,
que tu peux écrire

que ce passe t-il quand 2a < 1 ( a positif )??

mais ça ne prouve pas que la série initiale converge.

[ansset]

connais tu la formule de Stirling ?

[ArnoGreg]

Je viens de voir sur wikipédia :


Or :


Est-ce la bonne démarche ?

[ansset]

Oui (il y a peut être plus simple, je n'ai pas réfléchi ), mais surtout qu'en fais tu après ?
pense surtout au an/e avec a constant.

[ArnoGreg]

Je dirais déjà que, dès que , alors .

Et ensuite, cela dépend si ou .

Non ?

[ArnoGreg]

Peut-on appliquer la règle de d'Alembert ?

[ansset]

Je dirais déjà que, dès que , alors .

oui, mais c'est an/e qui est élevé à la puissance n
Or pour tout a ( même tout petit ) , il existe N tel que si n>N an/e > 1.
Et donc tous les termes à partir de ce rang ( j'oublie même de tenir compte de la racine carré de la formule qui est > 1 )

Quand au cas a négatif, on en a déjà parlé au début du fil.

[ansset]

Peut-on appliquer la règle de d'Alembert ?

Oui, c'est même une piste plus courte.

[ArnoGreg]

Pour a=0, le terme général de la série est nul donc la série converge.
Je traite les cas a<0 et a>0.

Cas 1 : a>0.

Alors

Aussi, dès que , on a .

Jusque là, je suis le raisonnement.

En quoi cela permet-il de conclure ?

Cas 2 : a<0.

Est-ce que la conclusion est immédiate .

--- Autre méthode : avec la règle de d'Alembert, j'écris :
qui tend vers + ou - .

Si c'est , la série diverge.
Dans l'autre cas, j'ai un doute.

[ansset]

En quoi cela permet-il de conclure ?

ben tu as

si (an/e) > 1 au delà d'un certain rang ,tous les termes sont >1 et il y a divergence.

Cas 2 : a<0.
Est-ce que la conclusion est immédiate .

Un change de signe , et on vient de le voir, ne tend pas vers 0.

--- Autre méthode : avec la règle de d'Alembert, j'écris :
qui tend vers + ou - .

Si c'est , la série diverge.
Dans l'autre cas, j'ai un doute.

je pense ou tu penses au cas a < 0.
la règle de base ne s'applique que dans les suites positives.

[ansset]

mais tu peux considérer la valeur absolue de U(n+1)/Un qui devient de même > 1 au bout d'un certain rang.

[ArnoGreg]

Oui, la règle de d'Alembert ne s'applique que pour les séries à termes positifs.
On peut l'appliquer à et non à .
Faisons-le :


Et cette dernière expression tend vers .

Donc la série diverge, en vertu de la règle de d'Alembert.

Et c'est là où je ne veux pas écrire de bêtise : peut-on en déduire qu'alors il en va de même de ?

[ansset]

non, ce n'est pas vraiment la règle de d'Alembert qu'on applique dans ce cas.(*)

On utilise surtout le fait que au bout d'un certain rang.
la serie étant alternée, son terme principal ne peut tendre vers 0, donc la suite ne peut converger.

l'application de la règle elle-même quand la limite vaut 1 par exemple ne donne aucune conclusion. ( voir le lien wiki )

Or on peut concevoir facilement une serie alternée avec qui converge.

(*) disons que ça revient au même ici car la lim tend vers +l'inf, mais il est difficile de dire que c'est l'application de la règle telle qu'elle est formulée.
donc on ne peut pas dire de manière générale que si elle s'applique ( donne un résultat ) pour , alors il en va de même pour

ps: question de formalisme peut être

[ArnoGreg]

Bonjour,

j'essaye de suivre votre raisonnement :

On utilise surtout le fait que au bout d'un certain rang.

Oui.

la serie étant alternée, son terme principal ne peut tendre vers 0, donc la suite ne peut converger.

Et là, je me perds.
Pouvez-vous expliciter ?
Encore merci.

[ansset]

ma phrase n'était pas très claire, je l'avoue.
voir ici sur la convergence des séries alternée
https://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A...altern%C3%A9es

[gg0]

Bonjour ArnoGreg.

Je n'ai pas regardé le forum depuis 2 jours, mais je vois que tu n'as pas compris une règle de base sur les séries :
Si une série converge, alors son terme général tend vers 0
on en déduit que si le terme général ne tend pas vers 0, alors la série diverge.
Quand je te répondais, il y a 3 jours (message #4), je pensais que tu connaissais cette règle qui est écrite dans tout cours de base sur le sujet, dite et répétée par les profs quand ils enseignent les séries. Tu as perdu 3 jours par ignorance.
Tu ne sembles pas non plus connaître la notion de série absolument convergente. Il serait peut-être temps pour toi d'apprendre vraiment le cours sur les séries, tu perds du temps, tu ne comprends pas les réponses qu'on te fait, ce n'est pas sérieux. Quand on est intelligent, on ne fait pas des exercices d'application de notions qu'on ne connaît pas.

Cordialement.