Dérivée

[Hugooooo]

Bonjour à tous,

J ai un problème avec la dérivée, je sais que c est la limite du quotient différentiel quand delta H tend vers 0 mais je comprends pas bien pourquoi si le quotient tend vers une valeur, alors forcément on peut dire qu autour du point, le taux de variation = la limite , en soit c est pas vraiment correct car on sait pas si dans le voisinage du point considéré, le taux de variation est constant, ça me semble être une grosse approximation ...
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[Deedee81]

Salut,

Il faut en effet que la dérivée soit continue en ce point, ce n'est pas nécessairement le cas.

Tu ne préfères pas qu'on déplace ta question dans le forum de math ? Pour des justifications mathématiques précises cela me semble de bon aloi
(et peut-être préciser le "delta H" car ce n'est pas toujours ça qu'on utilise, j'ai dû deviner ).

[jacknicklaus]

on peut dire qu autour du point, le taux de variation = la limite , en soit c est pas vraiment correct ..

Tout ce que dit la définition de la dérivée, c'est qu'au voisinage du point considéré, le taux de variation peut s'approcher d'aussi près que l'on veut de la limite, il suffit pour celà de choisir un voisinage suffisamment petit. Ca ne dit pas qu'il existe un voisinage dans lequel le taux de variation est partout égal à la limite. En general, ce n'est d'ailleurs pas vrai.

[Hugooooo]

Ah ok, car en comparaison avec l intégrale, là ça me semble logique de dire que l aire est égale à la limite car on peut s approcher aussi proche que l on veut donc c est logique.
Mais pour la dérivée, je peux pas l interpréter tel que , vu que plus l intervalle tend vers 0, plus le quotient tend vers la limite , alors vu c est que autour du point , j ai un voisinage où le taux est constant et égal à la pente de la tangente ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Matmat]

Nulle part il n'y a comme pré-requis que au voisinage du point il doive y avoir un taux constant pour appliquer la définition, donc ce n'est pas utile de te demander celà .

[jacknicklaus]

vu que plus l intervalle tend vers 0, plus le quotient tend vers la limite

oui

vu c est que autour du point , j ai un voisinage où le taux est constant et égal à la pente de la tangente ?

non. ce n'est pas ca que dit la définition, et en général ce n'est pas le cas (lire ma 1ère réponse)

[Hugooooo]

Je m exprime mal par ce que je veux dire , en fait je veux dire que si je pars de mon point où je cherche la dérivée et que je prends un point situé proche de celui ci , et si je prends ce même point mais cette fois ci avec un point différent du précédent mais toujours dans son voisinage bah le taux sera le même, c est à dire que peu importe le " second point " avec lequel je veux calculer mon taux de variation, il sera identique.
Enfin c est comme ça que c est expliqué dans plusieurs vidéos que j ai vu. Le taux de variation autour du point ne dépend pas de l écart que je choisi.

Voilà ce que je voulais dire

[jacknicklaus]

c est à dire que peu importe le " second point " avec lequel je veux calculer mon taux de variation, il sera identique.

non, c'est faux.

prends f(x) = x²
en f'(x) = 2x
en f'(1) = 2
donc pour tout x (proche de 1, mais différent de 1), f'(x) - f'(1) = 2.(x-1) qui est différent de zéro, toujours.

Donc tu n'as AUCUN point, aussi proche que tu veux de 1, qui ait la même dérivée qu'en x = 1

[Sethy]

Je m exprime mal par ce que je veux dire , en fait je veux dire que si je pars de mon point où je cherche la dérivée et que je prends un point situé proche de celui ci , et si je prends ce même point mais cette fois ci avec un point différent du précédent mais toujours dans son voisinage bah le taux sera le même, c est à dire que peu importe le " second point " avec lequel je veux calculer mon taux de variation, il sera identique.
Enfin c est comme ça que c est expliqué dans plusieurs vidéos que j ai vu. Le taux de variation autour du point ne dépend pas de l écart que je choisi.

Voilà ce que je voulais dire

Il s'agit d'un quotient de différences :



Si la fonction est "très continue et infiniment dérivable" aux abords du point x, effectivement prendre un Delta pas trop petit ne va pas modifier les choses.

[Hugooooo]

Jacknicklaus , tu prends des points très éloignés aussi Je parle pour des points de l'ordre de 10^-6 voire encore plus proches , c'est vraiment infinitésimal.
Dans la réponse de Sethy , c'est ça que je veux signifier.
Enfin pour moi la dérivée sert à déterminer le taux de variation local autour d'un point donc ça me paraît logique que la dérivée représente le taux de variation autour de ce point , la limite sert à nous dire vers quoi ça tend quand on se rapproche du point et donc à nous confirmer le taux de variation local.

Tout comme si on sait que la limite des aires pour une intégrale tend vers une valeur , bah c'est que peu importe le epsilon que je prends , je pourrai toujours m'approcher de la limite et par conséquent , c'est logique de dire que l'aire vaut la limite car rien ne sépare les deux..

[Sethy]

Calculons la valeur de ce quotient (sans prendre la limite) pour x^2 :



L'erreur absolue est donc de l'ordre de Delta x.

Tu peux faire un calcul similaire pour toutes les dérivées. Si la courbe est pathologique, tu vas voir des termes bien plus important apparaître.

Si tu veux une erreur de 10^-6 par exemple, avec x^2 tu pourras te contenter d'un delta x de 10^-6 mais avec x^10, tu vas devoir prendre un delta x de 10^-7 pour garder l'erreur absolue à 10^-6.

Et je ne parle pas de 1/x au voisinage de 0 ...

[Hugooooo]

Mais du coup c'est faux de considérer que la dérivée est le taux de variation local autour d'un point , indépendant de delta x et donc par conséquent constant ?
Car mon prof a dit que c'était pour éviter que le taux de variation dépende de delta x et que la dérivée nous donnait le taux de variation local..

Mais si vous me dites que c'est faux , je sais pas du coup. Genre on voit avec la limite que plus on se rapproche du point , plus on s'approche d'un taux de variation et donc on en déduit que c'est celui là autour du point

[Sethy]

C'est ici qu'on commence à vraiment faire des math' en fait. Les choses ne sont plus tout à fait blanches ou noires.

Si la fonction est suffisamment continue et suffisamment dérivable autour d'un point, on peut considérer que la dérivée en ce point peut si elle est prolongée (j'entends par la, si on construit la tangente à la courbe en ce point), donner une bonne approximation de la courbe et donc, effectivement la valeur du Delta x peut ne pas être infinitésimale.

Mais si on exclu les deux cas simplistes y=a et y=a.x + b, en toute rigueur la dérivée n'est exacte que pour delta x tendant vers 0 (si cette limite existe). Mais justement là où cela devient intéressant c'est quand on peut malgré tout un peu élargir le domaine de validité.

Cela fait appel à la souplesse d'esprit.

[Hugooooo]

D accord mais du coup ce que j ai dit est correct ?

[ansset]

bjr,
attention, il ne faut pas confondre la limite de la dérivée en un point et la notion de dérivée en ce point.
je prend un exemple ( exercice qui avait été posté ici )
soit la fonction définie par:
f(x)=x²sin(1/x)+2x si x diff de 0
f(0)=0
( cette fonction est bien continue )
on demande de calculer f'(0)
Si tu fais le calcul , tu vois que cette fonction ( la dérivée) pose pb en 0.
elle n'est pas continue en 0, et même pas définie si on ne lui donne pas une valeur choisie.

Et pour autant on peut calculer f'(0) en appliquant la définition formelle de la dérivée en un point.
ici

et cette limite existe , mais pas la limite de la fonction dérivée.

[Sethy]

Prends un thermomètre (pas électronique) par exemple. En toute rigueur, la dilatation d'un liquide n'est pas une fonction linéaire de la t° et en toute rigueur, un peu de liquide sort du bulbe pour monter dans le capillaire. Et pourtant, on va considérer que la variation de volume par unité de t° (une dérivée donc) est constante dans une gamme de t° suffisamment restreinte pour que cela soit vrai.

En conséquences, les graduations seront toutes espacées du même écart. Mais en toute logique, les graduations d'un thermomètre ne devrait pas être linéaire.

Ici, c'est pareil. Si tu veux te restreindre à une dérivée totalement constante au voisinage du point, effectivement ce n'est pas tout à fait le cas. Ce n'est pas exactement constant et delta x à une toute petite influence sur le résultat. Mais il est beaucoup plus intéressant de "faire comme si" delta x était constant. Donc non, ton prof n'a pas tort parce qu'il fait des math' et pas du calcul.

[albanxiii]

Mais du coup c'est faux de considérer que la dérivée est le taux de variation local autour d'un point , indépendant de delta x et donc par conséquent constant ?

C'est là que la notion de limite intervient. Ce fil montre que c'est loin d'être aussi intuitif qu'on voudrait nous le faire croire au lycée.
Constant pour x donné cela dit, et il n'y a plus de delta x puisqu'on est passé à la limite.



Je déplace ce fil en mathématiques, l'approche, sûrement plus rigoureuse et pédagogique, des mathématiciens qui n'osent pas venir sur le forum de physique est la bienvenue, je pense.

[gg0]

Bonjour.

Vue l'intervention déjà de plusieurs mathématiciens, je ne crois pas qu'on puisse faire mieux. En réponse au message #12 :
"Mais du coup c'est faux de considérer que la dérivée est le taux de variation local autour d'un point , indépendant de delta x et donc par conséquent constant ?"
Le nombre dérivé est exactement le taux de variation local : Pour une fonction quelconque, le taux de variation sur un intervalle autour de x varie en fonction de l'intervalle. En passant à la limite, on obtient un nombre qui ne dépend pas d'un intervalle autour de x, mais seulement de la fonction et de x.
Parler de "constant" dans ce cadre n'a pas de sens. On a simplement un nombre.

"Car mon prof a dit que c'était pour éviter que le taux de variation dépende de delta x et que la dérivée nous donnait le taux de variation local."

"Mais si vous me dites que c'est faux , je sais pas du coup. Genre on voit avec la limite que plus on se rapproche du point , plus on s'approche d'un taux de variation et donc on en déduit que c'est celui là autour du point" C'est ce qu'on dit .

Mais tu as mélangé la définition de la dérivée en un point avec des questions de taux de variation sur d'autres intervalles (message #7) peut-être à cause de vidéos fausses ou mal comprises. les maths s'apprennent avec des cours bien rédigés, pas avec des vidéos fumeuses. Et en ne cherchant pas des significations ésotériques aux formules. Le nombre dérivé est une limite. Point barre ! Et ça permet de faire la suite du cours sans se demander "qu'est-ce qu'on m'a caché ?". Avec la définition, tu sais tout !

Cordialement.

[raymolk]

Une petite chose qu'on peut peut-être rappeler (sauf erreur, je crois que ça n'a pas été fait jusque-là), pour fixer un peu les idées, c'est que la dérivée en un point est le coefficient directeur de la tangente au graphe de la fonction en ce point.
Si tu conserves cette représentation graphique à l'esprit Hugooooo, en promenant mentalement la tangente le long du graphe de la fonction considérée, tu verras que dès que cette fonction n'est pas linéaire, la pente de la tangente varie en permanence.
Tu peux par exemple reprendre l'exemple de la fonction déjà donné plus haut, et regarder quelle est la qualité de l'approximation de cette fonction par au voisinage de .