Bonjour, je cherche a montrer que si deux matrices U et V sont semblables dans C, alors elles le sont dans R.
Pour cela j'ecris PU=VP avec P=R+iS inversible, et j'essaie de montrer qu'il existe Q réelle inversible telle que QU=VQ. Je bloque ici, pourrez vous m'aider ?
Merci d'avance.
Matrices réelles bien sûrEnvoyé par Gpadide
Une méthode simple : va jusqu'au bout de ta décompo en R+ iS, ce qui te donnera un set de deux équations matricielles. Ensuite, mmh... Songe à quelque chose qui s'appelle polynôme
EDIT : n'hésite pas si tu as besoin d'aide, je suis dispo
Oui désolé matrices réelles j'ai oublié (:
Bon alors voila ce que je propose: en développant on obtient : RU+iSU=VR+iVS. En identifiant parties réelles et imaginaires : RU=VR et SU=VS (*). Ensuite je dis qu'il existe un réel a tel que R+aS est inversible. En effet,
det(R+xS) est un POLYNOMEde degré n donc il admet au plus n racines, d'ou l'existance de a. On revient au systeme (*) et on effectue la combinaison linéraire L1<--L1+aL2 pour obtenir : (R+aS)U=V(R+aS).
En posant Q=R+aS, on a Q réelle et inversible, CQFD.
Une erreur quelque part ?
Oui désolé matrices réelles j'ai oublié (:
Bon alors voila ce que je propose: en développant on obtient : RU+iSU=VR+iVS. En identifiant parties réelles et imaginaires : RU=VR et SU=VS (*). Ensuite je dis qu'il existe un réel a tel que R+aS est inversible. En effet,
det(R+xS) est un POLYNOME
En posant Q=R+aS, on a Q réelle et inversible, CQFD.
Une erreur quelque part ?C'est tout à fait ça. Sauf que tu aurais du préciser que le polynôme en question est non nul...
__
rvz
Je dirais plutôt que ce polynôme P en question est non nul car P(i) est non nul. Donc il existe bien a réel tel que R+aS est inversible.En effet,
det(R+xS) est un POLYNOME
EDIT: grillé par rvz
Bon j'arrive après la bataille, mais juste pour dire que c'était nickel (à détail près, rectifiés par rvz et supernico)
Bonsoir à tous,
Pour les amateurs de l'exercice, une version plus "hard" :
Montrer que deux matrices à coefficients danssemblables dans
Pour ceux qui passent encore des oraux... (courage
@+
Salut !
Encore plus hard : montrer que c'est vrai pour une extension queconque de corps L/K.
Hoho
Je l'ai vu à la fin du Gourdon ça, et c'est bien difficile effectivement
Disons que si le corps K est infini, on peut démontrer le résultat de façon élémentaire comme dans C/R, et sinon on utilise les invariants de similitude (c'est assez gros comme outil mais c'est très standard).
Oui c'est les invariants de similitudes qui sont utilisés (sinon la méthode de R/C marche très bien pour des corps quelconques infinis) dans le Gourdon
