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Matrices semblables dans R et dans C.



  1. #1
    Gpadide

    Matrices semblables dans R et dans C.


    ------

    Bonjour, je cherche a montrer que si deux matrices U et V sont semblables dans C, alors elles le sont dans R.
    Pour cela j'ecris PU=VP avec P=R+iS inversible, et j'essaie de montrer qu'il existe Q réelle inversible telle que QU=VQ. Je bloque ici, pourrez vous m'aider ?
    Merci d'avance.

    -----

  2. #2
    Gwyddon

    Re : Matrices semblables dans R et dans C.

    Citation Envoyé par Gpadide
    Bonjour, je cherche a montrer que si deux matrices U et V sont semblables dans C, alors elles le sont dans R.
    Pour cela j'ecris PU=VP avec P=R+iS inversible, et j'essaie de montrer qu'il existe Q réelle inversible telle que QU=VQ. Je bloque ici, pourrez vous m'aider ?
    Merci d'avance.
    Matrices réelles bien sûr

    Une méthode simple : va jusqu'au bout de ta décompo en R+ iS, ce qui te donnera un set de deux équations matricielles. Ensuite, mmh... Songe à quelque chose qui s'appelle polynôme

    EDIT : n'hésite pas si tu as besoin d'aide, je suis dispo
    Dernière modification par Gwyddon ; 05/07/2006 à 15h14.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  3. #3
    Gpadide

    Re : Matrices semblables dans R et dans C.

    Oui désolé matrices réelles j'ai oublié (:
    Bon alors voila ce que je propose: en développant on obtient : RU+iSU=VR+iVS. En identifiant parties réelles et imaginaires : RU=VR et SU=VS (*). Ensuite je dis qu'il existe un réel a tel que R+aS est inversible. En effet,
    det(R+xS) est un POLYNOME de degré n donc il admet au plus n racines, d'ou l'existance de a. On revient au systeme (*) et on effectue la combinaison linéraire L1<--L1+aL2 pour obtenir : (R+aS)U=V(R+aS).
    En posant Q=R+aS, on a Q réelle et inversible, CQFD.

    Une erreur quelque part ?

  4. #4
    rvz

    Re : Matrices semblables dans R et dans C.

    Citation Envoyé par Gpadide
    Oui désolé matrices réelles j'ai oublié (:
    Bon alors voila ce que je propose: en développant on obtient : RU+iSU=VR+iVS. En identifiant parties réelles et imaginaires : RU=VR et SU=VS (*). Ensuite je dis qu'il existe un réel a tel que R+aS est inversible. En effet,
    det(R+xS) est un POLYNOME de degré n donc il admet au plus n racines, d'ou l'existance de a. On revient au systeme (*) et on effectue la combinaison linéraire L1<--L1+aL2 pour obtenir : (R+aS)U=V(R+aS).
    En posant Q=R+aS, on a Q réelle et inversible, CQFD.

    Une erreur quelque part ?
    C'est tout à fait ça. Sauf que tu aurais du préciser que le polynôme en question est non nul...

    __
    rvz

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    supernico999

    Re : Matrices semblables dans R et dans C.

    Citation Envoyé par Gpadide
    En effet,
    det(R+xS) est un POLYNOME de degré n donc il admet au plus n racines, d'ou l'existance de a.
    Je dirais plutôt que ce polynôme P en question est non nul car P(i) est non nul. Donc il existe bien a réel tel que R+aS est inversible.

    EDIT: grillé par rvz

  7. #6
    Gwyddon

    Re : Matrices semblables dans R et dans C.

    Bon j'arrive après la bataille, mais juste pour dire que c'était nickel (à détail près, rectifiés par rvz et supernico)
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  8. #7
    IceDL

    Re : Matrices semblables dans R et dans C.

    Bonsoir à tous,

    Pour les amateurs de l'exercice, une version plus "hard" :

    Montrer que deux matrices à coefficients dans semblables dans sont aussi semblables dans .

    Pour ceux qui passent encore des oraux... (courage )

    @+

  9. #8
    doudache

    Re : Matrices semblables dans R et dans C.

    Salut !

    Encore plus hard : montrer que c'est vrai pour une extension queconque de corps L/K.

  10. #9
    Gwyddon

    Re : Matrices semblables dans R et dans C.

    Hoho

    Je l'ai vu à la fin du Gourdon ça, et c'est bien difficile effectivement
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  11. #10
    doudache

    Re : Matrices semblables dans R et dans C.

    Citation Envoyé par 09Jul85
    Je l'ai vu à la fin du Gourdon ça, et c'est bien difficile effectivement
    Disons que si le corps K est infini, on peut démontrer le résultat de façon élémentaire comme dans C/R, et sinon on utilise les invariants de similitude (c'est assez gros comme outil mais c'est très standard).

  12. #11
    Gwyddon

    Re : Matrices semblables dans R et dans C.

    Oui c'est les invariants de similitudes qui sont utilisés (sinon la méthode de R/C marche très bien pour des corps quelconques infinis) dans le Gourdon
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

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