Trouver une valeur moyenne à partir d'une distribution

[invite8ef93ceb]

Bonsoir,

j'ai la distribution suivante:

, (*)

qui correspond à la marche aléatoire symétrique unidimentionnelle.

m est un entier qui situe le système (si m=3, le système est à la position 3 fois la maille), et n est un entier qui compte le nombre de changement de position.

Voilà, puisque la marche est symétrique, il est évident pour moi que la moyenne de m sera nulle. Ma question est: comment trouver ces deux égalités (les grandes lignes de la démarche)

à partir de la distribution (*)?

Merci beaucoup!!

Simon
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[invitedf667161]

Sorry doublon, voir le prochain post

[invitedf667161]

Salut, pour une fois que je sais presque faire un truc !

Le fais que l'espérance de S_n est nulle est presque trivial, mettons nous dans le cas n pair pour fixer les idées :
S_n prend les valeurs -n;-n+2;...;-2;0;2;...;n-2;n et la proba de prendre la valeur 2 est la même que celle de prendre la valeur -2 (par exemple), cela se voit sur ta formule qui est invariante par changement de m en -m.
Du coup la formule de l'espérance pour les variables discrètes donne le résultat.

Le fait que Var(S_n) = n est presque tout aussi clair : les variales X_n étant indépendantes, la variance devient additive, et la variance de chaque X_i est 1.

[invite8ef93ceb]

Merci pour l'aide GuYem, mais je chercherais un développement plus mathématique qu'intuitif, et je ne le voyais vraiment pas, même avec ton aide.

En fait, c'est tout simple. Il m'a juste fallu arriver (dans mes notes de cours) à la limite continue pour comprendre.

est la probabilité d'être au site m au moment n. Donc, la moyenne de m est

.

Puisque la somme des probabilité doit être égale à 1, et remplaçant le donné au premier message, on trouve


Et comme tu as fait remarqué, la distribution de probabilité est paire, tandis que la fonction m est impaire, la somme donne donc évidemment zéro. Pour la moyenne de m au carré, on a



J'ai n'ai pas eu envie de faire le calcul. Mais j'imagine que ça donne n?

Quelqu'un a un truc pour faire ça quick?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedf667161]

Re salut Levesque.

J'ai bien peur que tu te fourvois dans la définition de l'espérance m^barre : le dénominateur que tu as donné n'a pas lieu d'être, disons qu'il est égal à 1 comme tu l'as marqué. Entre nous, cela ne change pas le résultat qui est 0

Pour la variance il n'est pas besoin de faire de calculs, ici il faut bien voir ta variable S_n "position à l'instant n" comme la somme de n variables indépendantes, donc tu as :

Var(S_n) = somme Var(X_i) = n