Transformée de Fourier et support compact

[coussin]

Bonjour

Je sais que :
- la transformée de Fourier d'une fonction à support compact peut être à support infini
- la transformée de Fourier d'une fonction à support infini peut être à support infini
- la transformée de Fourier d'une fonction à support infini peut être à support compact (exemple, le sinus cardinal)

Je me demande si la transformée de Fourier d'une fonction à support compact peut être à support compact ?

Merci d'avance
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[raymolk]

Non, une fonction f et sa transformée de Fourier g ne peuvent être toutes deux à support compact, à moins d'être également nulles.
Pour le montrer, on suppose que f est à support compact, et on la décompose en série de Fourier.
À une normalisation près, on peut se ramener au cas où le nième coefficient de la série est simplement égal à g(n).
Si maintenant g est à support compact, alors il existe N>0 tel que g(n)=0 pour tout n>N, donc f est un polynôme trigonométrique.
Or le seul polynôme trigonométrique à support compact est la fonction nulle.

[coussin]

Merci pour votre réponse